КОДЫ ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ

1. Разрядная сетка

Все данные в центральной части ЭВМ хранятся и обрабатываются в виде двоичных кодов. Для размещения кода отводится строго фиксированное число двоичных разрядов, образующих разрядную сетку. Без привязки к разрядной сетке понятие кода не определено. Каждый разряд кода нумеруется, начиная с нуля. В разных ЭВМ принята разная система нумерации. В универсальных ЭВМ разряды нумеруются слева направо, а в мини и микро-ЭВМ – справа налево. Пример нумерации для n двоичных разрядов приведен ниже.

При любой системе нумерации левый разряд имеет наибольший вес, а правый – наименьший. Положение точки, отделяющей целую и дробную часть, подразумевается. В большинстве ЭВМ считается, что точка находится после младшего разряда. В этом случае в разрядной сетке размещаются коды целых чисел.

Наиболее просто кодируются целые числа без знака. В этом случае в разрядную сетку записывается двоичное представление числа. Каждая цифра числа занимает разряд в соответствии со своим весом.

Для кодирования целых чисел со знаком применяют:

· Прямой код.

· Обратный код.

· Дополнительный код.

Прямой код

Прямой n-разрядный двоичный код состоит из знакового разряда и

n-1 разрядов для записи модуля числа. В качестве знакового разряда используется старший разряд.

Знак “плюс” кодируется как 0, а знак “минус” – как 1.

Определим диапазон чисел, представимых в прямом n-разрядном двоичном коде. Введем следующие обозначения: A⁺max – максимальное положительное число, A^-min - минимальное отрицательное число:

A⁺max = 2^n-1 – 1; A^-min = -(2^n-1-1)

Пример: Получить прямой 5-ти разрядный код числа A_[10] = -6.Определить диапазон чисел для этой разрядной сетки.

1.| A_[10] | = 6 Þ | A_[2] | = 0110 (на запись модуля выделено 4 разряда)

2.Знаковый разряд = 1

10 1 1 0

3.(А_[2])_пр =

Определим диапазон чисел:

A⁺max = 2⁴ – 1 = 15 A^-max = -(2⁴ – 1) = -15

Пример: Получить прямой 8-ми разрядный код числа A_[16] = 3С. Определить диапазон чисел для этой разрядной сетки.

1.| A_[16] | = 3С Þ | A_[2] | = 0111100 (на запись модуля выделено 7 разрядов)

2.Знаковый разряд = 0

00 1 1 1 1 0 0

3.(А_[2])_пр =

Определим диапазон чисел:

A⁺max = 2⁷ – 1 = 127 A^-max = -(2⁷ – 1) = -127

Прямой код для кодирования целых чисел со знаком в ЭВМ практически не применяется и используется как составная часть более сложных кодов.

Недостатки:

1. Сложение и вычитание чисел в прямом коде выполняется по правилам алгебры:

(С)_пр = (А)_пр + (В)_пр

(С)_пр = (А)_пр - (В)_пр ,

поэтому процессор должен иметь два разных устройства: сумматор и вычитатель.

2. Знаковый разряд обрабатывается отдельно от остальных по особым правилам.

3. Неоднозначность кодировки нуля:

0 0 0 0 0

+0 при n=5

1 0 0 0 0

-0 при n=5

Обратный код

Обратный код предполагает, что при кодировании числа и выполнении операций с кодами используются одинаковые правила обработки всех разрядов, включая знаковый. Обратный n-разрядный двоичный код – это код образованный по правилу:

Операция вида (2ⁿ – 1) - |A₂| дает дополнение до наибольшего числа без знака, представимого в в n-разрядной сетке. Другими словами, кодирование числа можно выполнить следующим образом:

· Для положительного числа в n-разрядную сетку записывается его двоичное представление.

· Для отрицательного числа в n-разрядную сетку записывается разность между наибольшим числом без знака и модулем кодируемого числа.

В обоих случаях значение знакового разряда будет получено автоматически.

Кодируем отрицательное число 1. |В[10]| = 6 2. |В[2]| = 00110 3. (В[2])обр= 1 1 1 1 1 Это инверсия модуля - 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 (В[2])обр= Знак ® 1

Пример: Получить обратные коды чисел А_[10] = 4, В_[10] = -6 для n = 5.

Замечания:

v Операция дополнения для двоичного обратного кода эквивалентна инверсии всех разрядов. Инверсия удобна для реализации в операционном устройстве.

v Если длина разрядной сетки кратна 4, дополнение удобно вычислять в шестнадцатеричной системе счисления. Такая разрядная сетка характерна для большинства ЭВМ.

v Если длина разрядной сетки кратна 3, дополнение удобно вычислять в восьмеричной системе счисления. Такая разрядная сетка не характерна для ЭВМ. Однако для мини-ЭВМ с 16-ти разрядной сеткой при документировании программ часто пользуются восьмеричной записью кодов чисел, при этом старший разряд рассматривается как двоичная цифра.

Пример: Определить обратный код числа А_[10] = -21 при n=16.

Получим обратный код во всех трех указанных формах. Так как кодируется отрицательное число, необходимо вычислить дополнение и использовать его в качестве обратного кода.

v Двоичное кодирование.

1. |А_[10]| = 21

2. |А_[2]| = 10101

3. |А_[2]| = 0000 0000 0001 0101 (Это модуль кодируемого числа в разрядной сетке)

4. (А_[2])обр= 1111 1111 1110 1010

F F E A_[16]

v Шестнадцатеричное кодирование

1. | А_[10]| = 21

|А_[16]| = 15

2. (А_[16])обр =F F F F (Это максимальное число без знака)

- 0 0 1 5(Это модуль кодируемого числа в разрядной сетке)

F F E A

v Восьмеричное кодирование

1. | А_[10]| = 21

|А_[8]| = 25

2. (А_[8])обр =1 7 7 7 7 7(Это максимальное число без знака)

- 0 0 0 0 2 5(Это модуль кодируемого числа в разрядной сетке)

1 7 7 7 5 2

Диапазон чисел в обратном коде составляет: A⁺max = 2^n-1 – 1; A^-min = -(2^n-1-1)

Достоинства:

1 Сложение и вычитание можно выполнять на одном устройстве: сумматоре, поскольку вычитание может быть заменено сложением с дополнением вычитаемого:

(С)обр = (А)обр + (В)обр

(С)обр = (А)обр - (В)обр = (А)обр + ((В)обр)обр

2 Знаковый разряд обрабатывается по общим правилам. Его значение при выполнении операции устанавливается автоматически.

Недостатки:

Неоднозначность кодировки нуля:

0 0 0 0 0

+0 при n=5

1 1 1 1 1

-0 при n=5

Чаще всего в ЭВМ используется модификация обратного кода – дополнительный код.

Дополнительный код

Дополнительный код обладает всеми достоинствами обратного и устраняет его главный недостаток – неоднозначность кодирования нуля. Дополнительный n-разрядный двоичный код представляет собой код, образованный по правилу:

Операция 2ⁿ – |A₂| называется операцией дополнения до следующего за большим числом без знака для данной разрядной сетки. Другими словами, кодирование числа можно выполнить следующим образом:

· Для положительного числа в n-разрядную сетку занести его двоичное представление.

· Для отрицательного числа в n-разрядную сетку занести разность между следующим

за большим числом без знака и модулем кодируемого числа.

Дополнение при использовании дополнительного кода больше по значению на 1 от дополнения при использовании обратного кода:

( 2ⁿ – 1 ) - |A₂| + 1 = 2ⁿ - |A₂|

Cледствие: дополнительный код отрицательного числа может быть получен из его обратного кода путем прибавления единицы в младший разряд.

Пример: Определить дополнительный код числа А_[16] = -1D8 при n=16.

Кодируется отрицательное число, следовательно, необходимо вычислить дополнение и использовать его в качестве кода.

v Двоичное кодирование.

1. |А_[16]| = 1D8

2. |А_[2]| = 111011000

3. |А_[2]| = 0000 0001 1101 1000 (Это модуль кодируемого числа в разрядной сетке)

4. (А_[2])обр= 1111 1110 0010 0111 (Это обратный код)

+ 1

(А_[2])доп= 1111 1110 0010 1000 (Это дополнительный код)

F E 2 8_[16]

v Шестнадцатеричное кодирование

1. | А_[16]| = 1D8

2. (А_[16])обр F F F F (Это максимальное число без знака)

- 0 1 D 8(Это модуль кодируемого числа в разрядной сетке)

F E 2 7 (Это обратный код)

+ 1

(А_[16])доп= F E 2 8 (Это дополнительный код)

v Восьмеричное кодирование

1. | А_[8]| = 730

2. (А_[8])обр =1 7 7 7 7 7(Это максимальное число без знака)

- 0 0 0 7 3 0(Это модуль кодируемого числа в разрядной сетке)

1 7 7 0 4 7 (Это обратный код)

+ 1

(А_[8])доп= 1 7 7 0 5 0 (Это дополнительный код)

Дополнительный код обеспечивает однозначное представление нуля:

+0 при n=5

-0 при n=5

+ 1

Диапазон представимых чисел в дополнительном коде: A⁺max = 2^n-1 – 1; A^-min = -2^n-1