Включение RLC-цепи на постоянное напряжение

Рассмотрим переходный процесс в цепи второго порядка на примере простейшей цепи (рис.6.3).
Рис.6.3

Если цепь содержит хотя бы один емкостный элемент, то составленные дифференциальные уравнения решаются относительно напряжения на этом элементе.

Начальные условия нулевые: , .

Принужденные составляющие: u_cпр = U₀ , i_пр = 0.

;

.

Видим, что составленное дифференциальное уравнение второго порядка.

Его характеристическое уравнение:

,

или

.

Тогда корни характеристического уравнения равны: .

Но можно дифференциальное уравнение и не составлять, а воспользоваться тем же приемом, что и для цепей первого порядка, то есть воспользоваться условием: Z(p)=0

или после преобразований: .

Откуда видно, что характеристическое уравнение, полученное из условия Z(p) = 0, имеет тот же вид, что и характеристическое уравнение, полученное из дифференциального.

Дальнейшее решение можно проделать по одному из трех вариантов.

1)Если обозначить = , то при D > 0:

,

где и р₂ – действительные числа и они меньше нуля.

Тогда решение для напряжения находят в виде:

.

Рис. 6.4 Рис. 6.5

В этом решении две неизвестные постоянные интегрирования А₁ и А₂, поэтому нужно вспомогательное уравнение для определения и . Пусть это будет ток:

.

При решения для тока и напряжения при мут вид:

Из второго уравнения получаем:

.

Подставим найденное значение А₁ в первое уравнение, получим: Рис. 6.6

,

отсюда

или .

Тогда: .

Напряжение на индуктивности можно найти по формуле:

.

Построим возможные временные графики переходных процессов. Для случая D > 0 приведены временные графики: u_c(t) – на рис. 6.4, i(t) – на рис. 6.5, u_L(t) – на рис. 6 .6.

2) Если D < 0, то . Тогда корни характеристического уравнения и будут комплексные. Представим их в виде:

,

где , .

Рис. 6.7 Рис. 6.8

В этом случае решение следует искать в виде:

;

.

Из начальных условий, при определяем А и . Для этого составляем и решаем уравнения:

Покажем, что здесь также можно использовать решение из первого случая:

.

Рассмотрим только свободную составляющую:

=

, Рис. 6.9

где .

Построим возможные временные графики переходных процессов. Для случая D < 0 временные графики приведены: u_c(t) – на рис. 6.7, i(t) – на рис. 6.8 u_L(t) – на рис. 6.9.

3) Если D = 0, то , и корни будут одинаковыми:

.

Рис.6.10 Рис. 6.11

Решение следует искать в виде:

;

Из начальных условий, при определяем А₁ и А₂:

Построим возможные временные графики переходных процессов. Для случая D = 0

Рис.6.12

временные графики приведены: u_c(t) на – рис. 6.10,

i(t) – на рис. 6.11, u_L(t) – на рис. 6.12.