Расстояние r, характеризующее положение точки наблюдения М в локальной системе координат, можно определить по формуле

, (9)

где - угол между вектором и - вектором, направленным из начала общей системы координат в точку расположения n-го элемента (см. рис. 3,а). В дальней зоне излучающей системы можно положить

Указанное равенство равносильно тому, что лучи, проведенные в точку наблюдения М из начала общей системы координат и из точки расположения излучаемого элемента, считаются параллельными (см. рис. 3,б). Величина носит название разности хода лучей. Из параллельности лучей сразу следует равенство угловых координат: , . Следовательно, векторы , создаваемые отдельными излучателями в точке наблюдения, параллельны между собой; компоненты результирующего вектора можно находить как сумму компонент каждого из элементарных полей; для каждой из компонент поля можно вынести из-под знака суммы функцию, соответствующую комплексной ДН.

Что касается величины , влияющей на амплитуду поля (8), то ее можно заменить на . Возникающая при этом погрешность (оценим ее по модулю, поскольку может быть как больше, так и меньше r)

где D- максимальный линейный размер излучающей системы. При больших значениях rпогрешность .

Естественно, что принятые выше допущения тем строже, чем больше расстояние r. Определим более точно, при каком расстоянии можно ими пользоваться. Основная погрешность при использовании соотношения (10) определяется ошибкой при вычислении фазового множителя, равной

При максимальном значении и (при расположении начала общей системы координат в середине излучающей системы) эта ошибка равна . Если потребовать, чтобы фазовая ошибка не превышала , т.е. 22,5°, то необходимо, чтобы

Условие (12) дает верхнюю границу дальней зоны во всем секторе углового положения точек наблюдения относительно антенны, поскольку оно справедливо для углов , близких к . При значениях , близких к нулю, требования к расстоянию r, значительно ослабляются, т.е. граница дальней зоны в этих направлениях приближается к антенне и определяется, по существу, уже не фазовыми ошибками, а амплитудными погрешностями, обусловленными отличием от r. Таким образом, при заданной геометрии антенны граница дальней зоны зависит от углового положения точек наблюдения.

Обычно расстояние между передающей антенной и точкой приема существенно больше, чем это требуется формулой (12), однако знание границы дальней зоны важно при экспериментальном исследовании характеристик антенн, в частности при измерении ДН.