Преобразование звезды в треугольник и треугольник в звезду

Условимся соединение трёх резисторов, имеющих вид трехлучевой звезды (рис. 31), называть соединение «звезда», а соединение трёх резисторов так, что они образуют собой стороны треугольника (рис. 32), называть соединением «треугольник».

Рис. 31. Соединение «звезда» Рис. 32. Соединение «треугольник»

Обозначим потенциалы узлов 1, 2, 3 через φ₁, φ₂, φ₃. Токи, подтекающие к узлам 1, 2, 3 обозначим через I₁, I₂, I₃.

Если преобразование выполнить таким образом, что при одинаковых значениях потенциалов φ₁, φ₂, φ₃ одноименных точек треугольника и звезды подтекающие к этим узлам токи будут одинаковые, то вся внешняя схема не заметит произведённой замены.

Выведем формулы преобразований. С этой целью выразим токи I₁, I₂ и I₃ в звезде и в треугольнике через разности потенциалов точек 1, 2, 3 и собственные проводимости.

Для звезды

I₁ + I₂ + I₃ = 0, (120)

I₁ = (φ₁ - φ₀)g₁; I₂ = (φ₂ - φ₀)g₂; I₃ = (φ₃ - φ₀)g₃; (121)

Подставим (121) в (120) и найдем ϕ₀

φ₁g₁ + φ₂g₂ + φ₃g₃ - φ₀(g₁ + g₂ + g₃) = 0

Отсюда

φ₀ = (122)

Далее, выведем φ₀ в выражении для тока I₁

I₁ = (φ₁ - φ₀)g₁ = g₁ = (123)

Обратимся к соединению треугольником. В соответствии с обозначениями на рис. 32:

I₁ = I₁₂ – I₃₁ = (φ₁ – φ₂)g₁₂ - (φ₃ – φ₁)g₁₃ = φ₁ (g₁₂ + g₁₃) – φ₃g₁₃ - ϕ₂g₁₂ (124)

Так как ток I₁ в схеме рис. 31 должен равняться току I₁ в схеме рис. 32 при любых значениях потенциалов φ₁, φ₂, φ₃, то коэффициент при φ₂ в правой части (124) должен равняться коэффициенту при φ₂ в правой части (123), а коэффициент при φ₃ в правой части (124) должен равняться коэффициенту при φ₃ в правой части (123).

Следовательно,

g₁₂= (125)

g₁₃= (126)

Аналогично,

g₂₃= (127)

Формулы (125) – (127) дают возможность найти проводимости сторон треугольника через проводимости лучей звезды.

Из уравнений (125), (126), (127), выразим сопротивления лучей звезды

R₁= ; R₂= ; R₃=

Через сопротивления сторон треугольника.

R₁₂= ; R₂₃= ; R₃₁=

С этой целью запишем дробь, обратную (125)

R₁₂= = = = (128)

Здесь

m=(R₂*R₃ + R₁*R₃ + R₁*R₂) (129)

Аналогично

R₂₃= (130)

R₁₃= (131)

Отсюда

R₁= ; R₂= ; R₃= ; (132)

Подставим (132) в (129):

m = + + = m² = = m²

Следовательно

m = (133)

Подставим (133) в (132)

R₁= ; (134)

R₂= (135)

R₃= (136)

Формулы (134) – (136) дают возможность найти сопротивления лучей звезды через сопротивления сторон треугольника.

Структура формул (134), (135), (136) легко запоминаются. В знаменателе стоит сумма сопротивлений треугольника. В числителе стоят произведения сопротивлений резисторов, примыкающих к узлам 1, 2, 3 соответственно.

Очень часто при расчёте электрических цепей оказывается полезным преобразовать треугольник в звезду или совершить преобразование звезды в треугольник. Практически чаще встречается потребность преобразования треугольника в звезду, чем в обратном преобразовании.

Полезность преобразования треугольника в звезду может быть проиллюстрирована, например, на схеме рис. 33.

Рис. 33. Схема для определения входного сопротивления

Надо определить входное сопротивление схемы относительно зажимов «d» и «с». Соединение резисторов смешанное, нет явно выраженного последовательного или параллельного соединения.

Преобразуем треугольник резисторов R₄, R₅, R₆ в эквивалентную звезду. Штриховыми линиями на рис. 33 обозначена эквивалентная звезда.

Изобразим получившуюся схему на рис. 34.

Рис. 34. Преобразованная схема

Согласно вышеизложенному

R₄₅= ; (137)

R₄₆= (138)

R₅₆= (139)

На схеме рис. 34 видно, что R₂ и R₄₅ соединены последовательно. R₁ и R₄₆ так же соединены последовательно. Эти упомянутые ветви соединены параллельно. И к этому сопротивлению последовательно включён R₅₆

R_вхdc = + R₅₆ (140)

Теорема взаимности

В любой, сколь угодно сложной линейной цепи ток в к-ой ветви, вызванный ЭДС Е_m, находящейся в m-ой ветви

I_k=E_mg_km (141)

будет равен току I_m в m-ой ветви, вызванному ЭДС Е_к (численно равной ЭДС Е_m), находящейся в к-ой ветви

I_m=E_kg_km (142)

Согласно вышеизложенному взаимная проводимость между к-ой и m-ой ветвями g_km равно, взаимной проводимости между m-ой и к-ой ветвями g_mk, хотя определяются они по разным схемам:

g_km=g_mk (143)

Поэтому и выполняется теорема взаимности.