Приём сигналов с неопределённой фазой (некогерентный приём)

В тех случаях, когда не удаётся точно оценить фазу или эта оценка требует применения сложных устройств, используют алгоритм, построенный в предположении, что начальная фаза приходящего сигнала неизвестна и может принимать любое значение на интервале . Такой метод приёма называется некогерентным. Для вывода правила оптимального некогерентного приёма воспользуемся критерием максимального правдоподобия. Математическая модель такого канала:

(3.50)

где – преобразование Гильберта от U(t), – случайная начальная фаза, k– коэффициент передачи канала.

Введём обозначения:

(3.51)

(3.52)

(3.53)

Тогда можно записать:

, (3.54)

где - модифицированная функция Бесселя.

(3.55)

Вместо того, чтобы сравнить отношения правдоподобия можно сравнить их логарифмы, что приводит к следующему алгоритму, который для двоичной системы будет выглядеть:

(3.56)

При выполнении этого неравенства регистрируется 1, в противном случае – 0. Величины и можно получить в момент отсчёта Т на выходе активного фильтра с опорными сигналами, равными соответственно . С учётом сказанного можно осуществить построение на основе активных фильтров схемы, называемой квадратурной и реализующей алгоритм (3.56).

Здесь – соответственно генераторы опорных сигналов ; 90 градусов – фазовращатель всех сигнальных компонентов на 90 градусов (преобразователь Гильберта); БОМ – блок определения модуля вектора ; НУ – нелинейные безынерционные устройства с характеристикой. (3.57)

Величины не зависят от начальной фазы сигналов и пропорциональны огибающей (в моменты отсчёта, кратные Т) на выходе фильтра, согласованного с сигналом . Таким образом, алгоритм (3.56) можно реализовать и на базе согласованных фильтров.

Идеальный детектор Д выделяет огибающую напряжения на выходе согласованного фильтра.

Алгоритм (3.56) и соответственно его реализация существенно упрощаются для систем с равными энергиями ( ). Для них с учётом монотонного характера функции алгоритм оптимального некогерентного приёма можно записать так:

(3.58)

Для двоичной системы правило (3.58) упрощается и сводится к проверке одного неравенства

(3.59)

При его выполнении регистрируется символ 1, в противном случае – 0. При реализации алгоритма (3.59) не нужны блоки НУ и блоки вычитания. Схемы упрощаются.

Исследования вероятности ошибок в канале с неопределённой фазой и аддитивным гауссовским шумом при поэлементном приёме показало, что минимальную вероятность ошибки обеспечивает система с равными энергиями, у которой сигналы удовлетворяют условиям ортогональности в усиленном смысле. Два сигнала x(t) и y(t) называются ортогональными в усиленном смысле, если соответствующие им аналитические сигналы и также ортогональны. Определим вероятность ошибки при приёме по алгоритму (3.59) двоичных сигналов, удовлетворяющих условиям ортогональности в усиленном смысле. Если передаётся символ 1, то с учётом (3.11) и (3.59) имеем:

(3.60)

, где (3.61)

(3.62)

Если N(t) – нормальный стационарный белый шум с нулевым средним и односторонней спектральной плотностью мощности , то – нормально распределённая величина, так как она определяется линейной операцией над нормальным же случайным процессом. Коэффициенты корреляции и при системе сигналов, ортогональной в усиленном смысле, равны нулю. Некоррелированность гауссовских величин означает их независимость. Следовательно, случайные величины и независимы, причём имеет распределение Рэлея:

(3.63)

имеет распределение Райса:

(3.64)

Вероятность приёма символа 0 при передаче символа 1 определяется формулой:

(3.65)

Используя методы теории вероятностей данное выражение можно преобразовать. В итоге получаем:

– для системы ортогональных сигналов в усиленном смысле (ЧМн) (3.66)

Такова же будет вероятность приёма символа 1 при передаче 0.

Для АМн: (3.67)

Для ОФМн (по методу сравнения фаз):

(3.68)

Рассмотрим теперь, как осуществляется оптимальный приём в канале, где флуктуирует не только начальная фаза, но и амплитуда сигнала.

Задача синтеза оптимального демодулятора дискретных сигналов, с неопределённой фазой и амплитудой решается аналогично задаче синтеза сигналов с неопределённой фазой. Однако условия приёма несколько отличаются. Математическая модель такого сигнала называется гауссовским каналом с общими замираниями.

Сигнал на выходе канала флуктуирует как по начальной фазе, так и по амплитуде. Это приводит к некоторому изменению выражений для функции правдоподобия и для правила принятия решений. Однако структура оптимального приёмника совпадает со структурой оптимального приёмника дискретных сигналов с неопределённой начальной фазой. Изменяются только значения пороговых уровней на входах устройств сравнения.

Помехоустойчивость приёма дискретных сообщений при замираниях сигнала получена для случая приёма двоичных ортогональных сигналов с равными энергиями.

Замирания считаются медленными, когда на протяжении единичного интервала амплитуда остаётся постоянной, но меняется случайным образом от интервала к интервалу.

Если считать что плотность распределения амплитуды подчиняется закону Рэлея, то вероятность ошибки

(3.69)

где – отношение мощностей постоянной и флуктуирующей составляющих.

На рисунке показана зависимость согласно (3.66) в двоичной системе, ортогональной в усиленном смысле, с равными энергиями, например ЧМн при оптимальном некогерентном приёме (кривая 2), а также зависимость для канала с общими замираниями (кривая 3).

Здесь же для сравнения приведена кривая, характеризующая потенциальную помехоустойчивость той же системы при когерентном приёме (кривая 1). Сравнение кривых показывает, что для рассматриваемой системы связи (с равными энергиями, ортогональной в усиленном смысле) априорное знание фазы и когерентный приём дают лишь очень небольшой энергетический выигрыш по сравнению со случаем некогерентного приёма. Этот выигрыш тем меньше, чем ниже допустимая вероятность ошибки. Для каналов с замиранием вероятность ошибки увеличивается и может быть снижена за счёт увеличения мощности сигнала. Систему ФМн так же как и другие системы с противоположными сигналами, отличающимися сдвигом фаз на , при некогерентном приёме применять нельзя, так как при неизвестной начальной фазе такие сигналы неразличимы. Однако, если сдвиг фазы в канале изменяется достаточно медленно, то разности фаз между соседними элементами практически сохраняются и могут быть измерены в приёмнике. Поэтому вполне возможен некогерентный приём при ОФМн.