Дискретное преобразование Фурье

Исследуем особенности спектрального представления дискретного сигнала, который задан на отрезке [0,T] своими отсчётами , взятыми соответственно в моменты времени , полное число отсчётов ( - интервал дискретизации)

Методика изучения таких дискретных сигналов состоит в том, что полученная выборка отсчётных значений мысленно повторяется бесконечное число раз. В результате сигнал становится периодическим.

Сопоставив такому сигналу некоторую математическую модель можно воспользоваться разложением в ряд Фурье и найти соответствующие амплитудные коэффициенты. Совокупность этих коэффициентов образует спектр дискретного периодического сигнала.

Воспользуемся моделью в виде последовательности дельта-импульсов. Тогда исходное колебание x(t) будет выражено формулой

(7.1)

Где – выборочные значения аналогового сигнала.

Представим этот сигнал комплексным рядом Фурье.

(7.2)

С коэффициентами:

(7.3)

Подставляя формулу (7.1) в (7.3) получим

- дискретное преобразование Фурье (ДПФ) (7.4)

Основные свойства ДПФ

1. ДПФ- линейное преобразование т.е. сумме сигналов отвечает сумма их ДПФ

2. Число различных коэффициентов вычисляемых по формуле (7.4) равно числу N за период; при n=N коэффициент

3. Коэффициентов (постоянная составляющая) является средним значением всех отсчётов:

4. Если N- чётное число, то

5. Пусть отсчётные значения – вещественные числа. Тогда коэффициенты ДПФ, номера которых располагаются симметрично относительно N/2, образуют сопряжённые пары:

Задача дискретного спектрального анализа может быть поставлена и по-иному. Допустим, что коэффициенты , образующие ДПФ, заданы. Положим в формуле (7.2) и учтём что суммируется лишь конечное число членов ряда, которые отвечают гармоникам, содержащимся в спектре исходного сигнала.

Таким образом получаем формулу для вычисления отсчётных значений

- обратное дискретное преобразование

Фурье (ОДПФ) (7.5)

Пример:

Дискретный сигнал на интервале своей периодически задан шестью равноотстоящими отсчётами

Найти коэффициенты ДПФ этого сигнала

k – номер отсчёта

n – номер гармоники

1)

2)

3)

4)