Узкополосные случайные сигналы

Исследуем свойства узкополосных случайных сигналов, у которых спектральная плотность мощности имеет резко выраженный максимум вблизи некоторой частоты , отличной от нуля. Определим функцию корреляции узкополосного случайного процесса.

Рассмотрим стационарный случайный процесс x(t), односторонний спектр мощности которого концентрируется в окрестности некоторой частоты >0. По теореме Винера-Хинчина функция корреляции данного процесса

(6.38)

Мысленно сместим спектр процесса из окрестности частоты в окрестность нулевой частоты, выполнив замену переменной . Тогда формула (6.36) приобретает вид:

(6.39)

В соответствии с исходным предположением об узкополосности процесса X(t) его спектр мощности исчезающе мал на частотах, близких к нулю. По этому в выражении (6.37) можно заменить нижний предел интегрирования на , не внося ощутимой погрешности, и записать функцию корреляции в виде

(6.40)

Особенно простой функция корреляции узкополосного процесса получается в случае, когда спектр мощности симметричен относительно центральной частоты . При этом , так что

(6.41)

Здесь коэффициент играет роль огибающей, которая изменяется медленно по сравнению с множителем . Часто бывает удобным ввести нормированную огибающую функции корреляции узкополосного случайного процесса, определив её с помощью равенства .

Тогда (6.42)

Характерный вид функции корреляции (6.42) свидетельствует о том, что отдельные реализации узкополосного случайного процесса представляют собой квазигармонические колебания:

, (6.43)

у которых как огибающая U(t) ,так и начальная фаза являются случайными функциями, медленно (в масштабе ) изменяющимися во времени.

Представим реализацию (6.41) как сумму синфазной и квадратурной составляющих.

(6.44)

Предположение о медленности синфазной A(t) и квадратурной B(t) амплитуд позволяет весьма просто записать выражение для реализации сопряжённого процесса, вынеся медленные множители за знак преобразования Гильберта:

(6.45)

Отсюда получаем формулы для мгновенных значений реализации огибающей

(6.46)

и начальной фазы

(6.45)

Часто на практике ставится задача нахождения совместной плотности вероятности огибающей и начальной фазы узкополосного случайного процесса. При этом особенно удобно воспользоваться методом, основанном на переходе от узкополосного случайного процесса к его синфазной и квадратурной составляющим. Благодаря этому методу мы можем вычислить двумерную плотность вероятности . Эта характеристика позволяет найти одномерную плотность вероятности огибающей:

(6.48)

И плотность вероятности начальной фазы

(6.49)

Мгновенные значения амплитуды A(t) и B(t) образуют двумерный гауссов вектор, обе составляющие которого независимы и имеют одинаковые дисперсии . Поэтому двумерная плотность вероятности.

(6.50)

Теперь, чтобы получить искомую плотность вероятности следует выполнить функциональное преобразование, переводящее случайный вектор {A,B} в новую случайную совокупность ,

(6.51)

Якобиан такого преобразования

(6.52)

Поскольку в новых переменных , искомая двумерная плотность вероятности:

(6.53)

Теперь, используя формулы (6.49) и (6.53) можем найти плотность вероятности начальной фазы:

Введём замену переменной

Тогда:

(6.54)

Таким образом, начальная фаза узкополосного случайного процесса распределена равномерно на отрезке

На основании формул (6.48) и (6.53) определим одномерную плотность вероятности огибающей

(6.55)

Здесь так же целесообразно перейти к безразмерной переменной относительно которой

(6.56)

Плотность вероятности мгновенных значений огибающей узкополосного случайного процесса, устанавливаемая выражением (6.55), (6.56) известна под названием закона Рэлея. Соответствующий график показывает, что наиболее вероятны некоторые средние (порядка ) значения огибающей. В то же время маловероятно, чтобы огибающая принимала значения как близкие к нулю, так и значительно превосходящие среднеквадратичный уровень узкополосного процесса.

Проводя усреднение с помощью плотности вероятности (6.55) находим среднее значение огибающей и её дисперсию:

(6.57)

(6.58)

Располагая одномерной плотностью вероятности огибающей, можно решить ряд задач теории узкополосных случайных процессов, в частности, найти вероятность превышения огибающей некоторого заданного уровня.

Случайные величины, распределенные по закону Рэлея, встречаются во многих задачах. Исследуем огибающую суммы гармонического сигнала и узкополосного нормального шума. Часто бывает необходимо определить статистические свойства сигнала, наблюдаемого на выходе некоторого частотно-избирательного устройства, например, резонансного усилителя.

Будем считать, что помимо флуктуационного гауссова шума с центральной частотой , равной резонансной частоте усилителя, на выходе присутствует также детерминированный гармонический сигнал с известной амплитудой .

Простейшей задачей является нахождение одномерной плотности вероятности огибающей суммарного колебания. Считая, что полезный сигнал , в то время как шум , запишем выражение реализации суммарного процесса X(t) . Данный случайный процесс узкополосен, поэтому его реализация может быть выражена посредством медленно меняющихся огибающей U(t) и начальной фазы :

. Очевидно между парами имеется связь:

(6.59)

Легко проверить, что якобиан D этого преобразования равен U. Тогда, поскольку двумерная плотность вероятности:

В новых переменных имеем.

(6.60)

Теперь чтобы получить одномерную плотность вероятности огибающей, следует проинтегрировать правую часть формулы (6.60) по угловой координате в результате чего находим:

(6.61)

Данная формула выражает закон, получивший название закона Райса. Отметим, что при , т.е. в отсутствие детерминированного сигнала, закон Райса переходит в закон Рэлея.

На рисунке представлены графики плотности вероятности случайной величины, распределённой по закону Райса при различных отношениях

Отметим, что если амплитуда детерминированного сигнала значительно превышает среднеквадратический уровень шума, т.е. >>1 то при можно воспользоваться асимптотическим представлением модифицированных функций Бесселя с большим аргументом:

Подставив это выражение в (6.61), имеем

(6.62)

Т.е. огибающая результирующего сигнала распределена в этом случае приближённо нормально с дисперсией и математическим ожиданием . Практически считают, что уже при огибающая результирующего сигнала нормализуется.