Метод наименьших квадратов


 

Метод наименьших квадратов, разработанный знаменитыми математиками К. Гауссом и А. Лежандром, берет свое начало от задач геодезии и астрономии. Рассмотрим его существо на примере линейной модели. Итак, пусть для представления полученных данных мы выбрали линейную модель y*=a+bx, где х – независимая переменная, т. е., переменная, которую экспериментатор может менять по своему усмотрению; y* - зависимая переменная или отклик; a и b – коэффициенты (параметры). Из данных, приведенных в примере, видно, что именно такой моделью (уравнением прямой линии) может быть описана зависимость.

С другой стороны, видно что реально наблюдаемые значения отклика yi несколько отличаются от откликов yi*, соответствующих уравнению модели. И такое положение будет всегда, даже в тех случаях, когда зависимая и независимая переменные будут связаны строгой функциональной зависимостью. В этом случае отклонения эмпирических значений от теоретических связаны с погрешностями измерений, которые всегда имеют место.

Итак, каждому значению независимой переменной в общем случае соответствует ошибка: ei=yi-yi*.

Естественно, что в зависимости от того, как будет проведена прямая, аппроксимирующая набор экспериментальных данных, величины ei будут различны. Именно, для того, чтобы избежать субъективности при построении эмпирической модели, и был разработан метод наименьших квадратов, позволяющий однозначно определить параметры выбранной модели. В основе этого метода лежит критерий минимизации суммы квадратов ошибок, т. е. требование, чтобы была минимальной.

Покажем, как используется метод наименьших квадратов на примере оценки параметров для уравнения y*=a+bx.

В общем случае необходимо решить систему уравнений:

, из которых находятся коэффициенты a и b.

Подставляя данные из примера, получаем:

16,3=7a+56b

107=56a+560b

Откуда a=4, b=-0,209.

В таблице приведено сравнение между реальными и теоретическими данными, а также величины ошибок.

Y 3,6 2,9 3,2 1,8 2,3 1,7 0,8
y* 3,582 3,164 2,746 2,328 1,91 1,492 1,074
ei 0,018 -0,264 0,454 -0,528 0,39 0,208 -0,274
Сумма ei 0,825

 



Дата добавления: 2020-10-01; просмотров: 415;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.007 сек.