Корреляционный анализ

Различают:

• парную корреляцию – это зависимость между результативным и факторным признаком;
• частную корреляцию – это зависимость между результативным и одним факторным признаком при фиксированном значении других факторных признаков;
• множественную – многофакторное влияние в статической модели .

Теснота связи при линейной зависимости измеряется с помощью линейного коэффициента корреляции, который рассчитывается по одной из формул:

(5.16)

. (5.17)

Оценка линейного коэффициента корреляции

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе t-критерия Стьюдента. Для этого определяется фактическое значение критерия :

, (5.18)

Вычисленное по формуле (6.18) значение сравнивается с критическим , который получают по таблице Стьюдента с учетом принятого уровня значимости и числа степеней свободы ν. Коэффициент корреляции считается статистически значимым, если t_расч превышает : t_расч > .

Универсальным показателем тесноты связи является теоретическое корреляционное отношение:

, (5.19)

где – общая дисперсия эмпирических значений y, характеризует вариацию результативного признака за счет всех факторов, включая х;

– факторная дисперсия теоретических значений результативного признака, отражает влияние фактора х на вариацию у;

– остаточная дисперсия эмпирических значений результативного признака, отражает влияние на вариацию у всех остальных факторов кроме х.

По правилу сложения дисперсий:

, т.е. . (5.19)

Оценка связи на основе теоретического корреляционного отношения (шкала Чеддока)

Значение	Характер связи		Значение	Характер связи
η = 0	Отсутствует		0,5 ≤ η < 0,7	Заметная
0 < η < 0,2	Очень слабая		0,7 ≤ η < 0,9	Сильная
0,2 ≤ η < 0,3	Слабая		0,9 ≤ η < 1	Весьма сильная
0,3 ≤ η < 0,5	Умеренная		η = 1	Функциональная

Для линейной зависимости теоретическое корреляционное отношение тождественно линейному коэффициенту корреляции, т.е. η = |r|.

Множественный коэффициент корреляции в случае зависимости результативного признака от двух факторов вычисляется по формуле:

, (5.20)

где – парные коэффициенты корреляции между признаками.

Множественный коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0 до 1 и по определению положителен: .

Условие включения факторных признаков в регрессионную модель – наличие тесной связи между результативным и факторными признаками и как можно менее существенная связь между факторными признаками.

Значимость коэффициента множественной детерминации, а соответственно и адекватность всей модели и правильность выбора формы связи можно проверить с помощью критерия Фишера:

, (5.21)

где R² – коэффициент множественной детерминации (R² );

k – число факторных признаков, включенных в уравнение регрессии.

Связь считается существенной, если F_расч > F_табл – табличного значения F-критерия для заданного уровня значимости α и числе степеней свободы ν₁ = k,ν₂ = n – k – 1.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень тесноты связи результативного признака и фактора, при элиминировании его взаимосвязи с остальными факторами, включенными в анализ. Расчет частных коэффициентов корреляции в случае двухфакторной регрессии (в первом случае исключено влияние факторного признака х₂, во втором – х₁):

; , (5.22)

где r – парные коэффициенты корреляции между указанными в индексе переменными.

Для оценки сравнительной силы влияния факторов, по каждому фактору рассчитывают частные коэффициенты эластичности:

, (5.23)

где – среднее значение соответствующего факторного признака;

– среднее значение результативного признака;

– коэффициент регрессии при i-м факторном признаке.

Данный коэффициент показывает, на сколько процентов следует ожидать изменения результативного показателя при изменении фактора на 1% и неизменном значении других факторов.

Частный коэффициент детерминации показывает, на сколько процентов вариация результативного признака объясняется вариацией i-го признака, входящего в множественное уравнение регрессии, рассчитывается по формуле:

, (5.24)

где – парный коэффициент корреляции между результативным и i-м факторным признаком;

– соответствующий стандартизованный коэффициент уравнения множественной регрессии:

. (5.25)

Пример

По данным о стоимости основных производственных фондов (С_ОПФ) и объеме валовой продукции (ВП) определить линейное уравнение связи.

Номер предприятия	СОПФ ( ), млн. руб.	ВП (y), млн. руб.		2	2
						19,4	0,36	20,25
								12,25
						30,6	0,16	6,25
						36,2	27,04	2,25
						41,8	3,24	0,25
						47,4	73,96	0,25
								2,25
						58,6	1,96	6,25
						64,2	17,64	12,25
						69,8	0,04	20,25
Сумма							125,4	82,5
Среднее	5,5	44,5	290,7	38,5	2248,7	44,5

;

.

Уравнение регрессии имеет вид:

.

Следовательно, с увеличением стоимости основных фондов на 1 млн.руб. объем валовой продукции увеличивается в среднем на 5,6 млн. руб.

Проверим значимость полученных коэффициентов регрессии. Рассчитаем и :

для параметра а₀:

для параметра а₁: .

По таблице Стьюдента с учетом уровня значимости =5% и числа степеней свободы ν =10-1-1=8 получаем =2,306.

Фактические значения и превышают табличное критическое значение . Это позволяет признать вычисленные коэффициенты корреляции типичными.

ПримерПо данным предыдущего примера оценить тесноту связи между признаками, оценить значимость найденного коэффициента корреляции.

, или .

Значение коэффициента корреляции свидетельствует о сильной прямой связи между рассматриваемыми признаками.

Значение t_расч превышает найденное по таблице значение =2.306, что позволяет сделать вывод о значимости рассчитанного коэффициента корреляции.

ПримерИмеются некоторые данные о среднегодовой стоимости ОПФ (С_ОПФ), уровне затрат на реализацию продукции (З_РП) и стоимости реализованной продукции (РП). Считая зависимость между этими показателями линейной, определить уравнение связи; вычислить множественный и частные коэффициенты корреляции, оценить значимость модели.

СОПФ (х1), млн.руб.	ЗРП (х2), в % к РП	РП (y), млн.руб.			х1 х2	х1 y	х2 y
								20,36
								20,05
								24,21
								26,91
								30,54
								29,08
								33,24
								35,01
								36,25
								38,33
S = 66	S = 90	S = 294	S = 490	S = 1018	S = 688	S = 2078	S = 2880	S = 294
=6,6	=9,0	=29,4	–	–	=68,8	=207,8	=288,0	–

Решение. Составим систему нормальных уравнений МНК:

Выразим из 1-го уравнения системы a₀ = 29,4 – 6,6·a₁ – 9·a₂.

Подставив во 2-е уравнение это выражение, получим:

.

Далее подставляем в 3-е уравнение вместо a₀ и a₁ полученные выражения и решаем его относительно a₂ с точностью не менее 3-х знаков после запятой. Итак:

a₀ = 12,508; a₁ = 2,672; a₂ = – 0,082; = 12,508 + 2,672·х₁ – 0,082·х₂.

= = 0,884;

= = 0,777;

= = 0,893;

=0,893.

Проверим значимость r (α = 0,01 и ν = 7):

= 5,00; = 3,27.

=5,00 > t_табл=3,50 – коэффициент корреляции x₁ значим;

=3,27 < t_табл=3,50 – коэффициент корреляции x₂ не значим.

Произведенные расчеты подтверждают условие включения факторных признаков в регрессионную модель – между результативным и факторными признаками существует тесная связь ( = 0,884; = 0,777), однако между факторными признаками достаточно существенная связь ( = 0,893). Включение в модель фактора x₂ незначительно увеличивает коэффициент корреляции ( = 0,884; =0,893), поэтому включение в модель фактора x₂ нецелесообразно.

Вычислим стандартизованные коэффициенты уравнения множественной регрессии:

Отсюда вычислим частные коэффициенты детерминации:

т.е. вариация результативного признака объясняется главным образом вариацией фактора x1.

Вычислим частные коэффициенты эластичности:

Проверим адекватность модели на основе критерия Фишера:

Найдем значение табличного значения F-критерия для уровня значимости α=0,05 и числе степеней свободы ν1 = 2, ν2 = 10 –2 – 1 : Fтабл=4,74. Превышение значения Fрасч над значением Fтабл позволяет считать коэффициент множественной детерминации значимым, а соответственно и модель – адекватной, а выбор формы связи - правильным.

Ряды динамики