Вычисление производных

Вычисление сумм рядов

Для вычисляемой и инертной форм вычисления сумм служат функции:

где f – функция, задающая члены суммируемого ряда,

k – индекс суммирования,

m и n – целочисленные пределы изменения k.

Значение n может приниматься бесконечным, тогда для n используется константа infinity.

Инертная форма начинается с большой буквы и служит для воспроизведения заданного выражения.

Примеры:

>Sum(k^2, k=1..5)=sum(k^2, k=1..5);

>sum(k^2,k);

>Sum(1/n!,n=1..infinity)=sum(1/n!,n=1..infinity);

Вычисление произведений

Для вычисления произведений используются функции:

Примеры:

>Product(k^2, k=1..5)=product(k^2, k=1..5);

>product(k^2,k);

>Product(1/n!,n=1..infinity)=

product(1/n!,n=1..infinity);

Вычисление производных

Для вычисления производных используются следующие функции:

где f – дифференцируемое алгебраическое выражение, в частности функция f(x1,x2,…,xn) n переменных, по которым производится дифференцирование.

Первая из этих функций вычисляет в простейшем случае diff(f(x),x) первую производную функции f(x) по переменной x. При n>1 вычисления производных выполняются рекурсивно, т.е. diff(f(x),x,y) эквивалентно diff(diff(f(x),x),y). Оператор $ можно использовать для вычисления производных высокого порядка. Для этого после имени соответствующей переменной ставится этот оператор и указывается порядок производной. Например, выражение diff(f(x),x$4) вычисляет производную 4-го порядка и эквивалентно записи diff(f(x),x,x,x,x). А diff(g(x,y),x$2, y$3) эквивалентно diff(g(x,y),x,x,y,y,y).

Примеры:

>Diff(sin(x),x)=diff(sin(x),x);

>Diff(x^3+y^2,x,y)=diff(x^3+y^2,x,y);

>Diff(x^6/6!,x$6)=diff(x^6/6!,x$6);

>diff([sin(x),x^n,exp(a*x)],x);

>simplify(%);

>f(x,y):=cos(x)*y^3;

>Diff(f(x,y),x)=diff(f(x,y),x);

>Diff(f(x,y),x,y)=diff(f(x,y),x,y);

>Diff(f(x,y),[x,y])=diff(f(x,y),[x,y]);

>Diff(f(x,y),x$4)=diff(f(x,y),x$4);

>Diff(f(x,y),x$3,y$2)=diff(f(x,y),x$3,y$2);

Для вычисления производных может использоваться дифференциальный оператор D. Он позволяет создавать более компактные выражения, чем функции diff и Diff. Дифференциальный оператор может записываться в формах:

D(f) или D[i](f)

где f – выражение или функция,

i – положительное целое число, выражение или последовательность.

Оператор D(f) вычисляет имя производной от f. В форме D(f)(x) этот оператор подобен diff(f(x),x).

>D(sin);

cos

>D(sin)(x)=diff(sin)x,x);

cos(x)=cos(x)

>D(sin)(Pi);

-1

Если f – функция n аргументов, то D[i](f) вычисляет частную производную по отношению к i-му аргументу. В общем случае D[i,j](f) эквивалентно D[i](D[j](f)) и D[](f)=f.

>fun:=(x)->sin(x^2);

>D(fun);

>diff(fun(x),x);

>f:=(x,y,z)->x*exp(y)+ln(z);

>D[1](f);

>D[2](f);

>D[3](f);