Определение параметров линейного однофакторного уравнения регрессии
Пусть у нас имеются данные о доходах (X) и спрос на некоторый товар (Y) за ряд лет (n)
ГОД n | ДОХОД X | СПРОС Y |
x1 | y1 | |
x2 | y2 | |
x3 | y3 | |
... | ... | ... |
n | xn | yn |
Предположим, что между X и Y существует линейная взаимосвязь, т.е.
Для того, чтобы найти уравнение регрессии, прежде всего нужно исследовать тесноту связи между случайными величинами X и Y, т.е. корреляционную зависимость.
Пусть:
x , х , . . . ,хn- совокупность значений независимого, факторного признака;
y , y . . . ,yn – совокупность соответствующих значений зависимого, результативного признака;
n – количество наблюдений.
Для нахождения уравнения регрессии вычисляются следующие величины:
1. Средние значения
для экзогенной переменной.
для эндогенной переменной$
2. Отклонения от средних величин
, $
3. Величины дисперсии и среднего квадратичного отклонения
, .
Величины дисперсии и среднего квадратичного отклонения характеризуют разброс наблюдаемых значений вокруг среднего значения. Чем больше дисперсия, тем больше разброс.
4. Вычисление корреляционного момента (коэффициента ковариации):
Корреляционный момент отражает характер взаимосвязи между xиy. Если , то взаимосвязь прямая. Если , то взаимосвязь обратная.
5. Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:
.
Доказано, что коэффициент корреляции находится в интервале от минус единицы до плюс единицы ( ). Коэффициент корреляции в квадрате ( ) называется коэффициентом детерминации.
Если , то вычисления продолжаются.
6. Вычисления параметров регрессионного уравнения.
Коэффициент bнаходится по формуле:
После чего можно легко найти параметр a:
Коэффициенты aиbнаходятся методом наименьших квадратов, основная идея которого состоит в том, что за меру суммарной погрешности принимается сумма квадратов разности (остатков) между фактическими значениями результативного признака и его расчетными значениями , полученными при помощи уравнения регрессии
.
При этом величины остатков находятся по формуле:
, где
фактическое значение y;
расчетное значение y.
Пример. Пусть у нас имеются статистические данные о доходах (X) и спросе (Y). Необходимо найти корреляционную зависимость между ними и определить параметры уравнения регрессии.
ГОД n | ДОХОД X | СПРОС Y |
10,3 | ||
10,5 | ||
Предположим, что между нашими величинами существует линейная зависимость.
Тогда расчеты лучше всего выполнить в Excel, используя статистические функции;
СРЗНАЧ – для вычисления средних значений;
ДИСП – для нахождения дисперсии;
СТАНДОТКЛОН – для определения среднего квадратичного отклонения;
КОРЕЛЛ – для вычисления коэффициента корреляции.
Корреляционный момент можно вычислить, найдя отклонения от средних значений для ряда X и ряда Y , затем при помощи функции СУММПРОИЗВ определить сумму их произведений, которую необходимо разделить на n-1.
Результаты вычислений можно свести в таблицу.
Дата добавления: 2016-05-30; просмотров: 2275;