Аппроксимация экспериментальных данных

Аппроксимацией называется подбор аналитической формулы у = f(x) для установленной из опыта функцио­нальной зависимости

Аппроксимируемая функция у может зависеть от одной или от нескольких переменных. Рассмотрим оба случая.

Одна независимая переменная. В простейшем случае задача аппроксимации для функции одной переменной выглядит следующим образом.

Пусть имеются данные, полученные в ходе эксперимен­та или наблюдений, которые можно представить в виде таблицы значений (х, у).

х			…
у			…

На основе этих данных требуется подобрать такую фун­кцию у=f(x), которая с точки зрения некоторого крите­рия оптимальности наилучшим образом описывала бы экспериментальную зависимость.

Обычно задача аппроксимации распадается на две час­ти. Сначала устанавливают вид зависимости у=f(x) и, соответственно, вид эмпирической формулы, то есть ре­шают, является ли она линейной, квадратичной, лога­рифмической или какой-либо другой. После этого опреде­ляются численные значения неизвестных параметров вы­бранной эмпирической формулы, для которых приближе­ние к заданной функции оказывается наилучшим.

Для сглаживания экспериментальных зависимостей , заданных таблично, в MS Excel [11,39,40] используются различные функции у = f(x):

- линейная;

- полиномиальная;

- логарифмическая;

- степенная;

- экспоненциальная.

Параметры аппроксимирующей функции подбираются так, чтобы выполнялось условие минимума среднеквадра­тичных отклонений (критерий оптимальности):

где - экспериментальные точки (i= 1...n).

Степень точности аппроксимации экспериментальных данных в MS Excel оценивается коэффициентом детерми­нации (R²). Чем ближе этот коэффициент к значению 1, тем точнее приближение. При правильном выполнении процедуры аппрок­симации полученная аналитическая зависимость позволяет вычислять значения функции в дополнительных точках. Для этого в ячейку листа MS Excel необходимо занести полученную в результате аппроксимации формулу со ссылкой на ячейку с независимой переменной.

В тех случаях, когда аппроксимируемая переменная у зависит от несколь­ких независимых переменных

используются следующие специальные функции Excel:

- ЛИНЕЙН и ТЕНДЕНЦ для аппроксимации линейных функций вида ;

-ЛГРФПРИБЛ и РОСТ для аппроксимации показатель­ных функций вида

Функции ЛИНЕЙН и ЛГРФПРИБЛ имеют одинаковые параметры:

· множество наблюдаемых значений у;

· множество наблюдаемых значений ;

· логическое значение, которое указывает, равна ли 0 константа а₀;

· логическое значение (статистика), которое указывает, нужна ли дополнительная статистика по регрессии.

Функции ТЕНДЕНЦИЯ и РОСТ позволяют находить точки, лежащие на аппроксимирующих кривых и соответ­ственно.

Обе функции имеют одинаковые аргументы:

- множество известных значений у;

- множество известных значений х;

- новые значения х (строка или столбец новых значе­ний для каждой независимой переменной ;

-логическое значение для константы (равна нулю или нет).