Идеально сбалансированные деревья
В заключение данной темы рассмотрим один частный случай ДД – так называемое идеально сбалансированное дерево (ИСД). Как будет отмечено в дальнейшем, эффективное использование деревьев на практике часто требует управления ростом дерева для устранения крайних случаев, когда дерево вырождается в линейный список и тем самым теряет всю свою привлекательность (с вычислительной точки зрения, разумеется).
В этом смысле ИСД полностью оправдывает свое название, поскольку вершины в нем распределяются наиболее равномерно и тем самым ИСД имеет минимально возможную высоту. Более точно, ДД называется идеально сбалансированным, если для каждой вершины число вершин в левом и правом ее поддеревьях отличаются не более чем на единицу. Обратим внимание, что данное условие должно выполняться для всех вершин дерева!
| | |||||||||||||||||
Это дерево - ИСД | Это – не ИСД (нарушение условия для корня!) | Это тоже не ИСД (совсем плохо, почти список!) |
ИСД легко строится, если заранее известно количество вершин N в этом дереве. В этом случае ИСД можно построить с помощью следующего рекурсивного алгоритма:
· взять первую по порядку вершину в качестве корневой
· найти количество вершин в левых и правых поддеревьях:
Nl=Ndiv2;
Nr = N – Nl – 1;
· построить левое поддерево с Nl вершинами точно таким же образом (пока не получим Nl = 0)
· построить правое поддерево с Nr вершинами точно таким же образом (пока не получим Nr = 0)
Естественно, что реализация рекурсивного алгоритма наиболее просто выполняется в виде рекурсивной подпрограммы. При этом между этой процедурой и процедурами обхода есть одно принципиальное различие: процедуры обхода лишь используют существующую структуру дерева, не изменяя ее, и поэтому их формальные параметры являются лишь входными, тогда как процедура построения ИСД должна СОЗДАВАТЬ вершины и каждый раз возвращать в вызвавшую ее подпрограмму адрес очередной созданной вершины. Поэтому формальный параметр ссылочного типа должен быть объявлен как параметр-переменная. Кроме того, второй формальный параметр-значение принимает число вершин в текущем строящемся поддереве.
procedure AddNodes ( var pСurrent : Tp; aN : integer);
var pTemp : Tp;
Nl, Nr : integer;
Begin
if aN = 0 then { вершин для размещения нет }
pCurrent := nil { формируем пустую ссылку }
Else
Begin
Nl := aN div 2; {сколько вершин будет слева?}
Nr := aN - Nl - 1; {сколько вершин будет справа?}
New ( pTemp ); {создаем корень поддерева}
AddNodes ( pTemp^.left, Nl); {уходим на создание левого поддерева}
AddNodes ( pTemp^.right, Nr);{уходим на создание правого поддерева}
pCurrent := pTemp; {возвращаем адрес созданного корня}
End
end;
Запуск процесса построения как обычно выполняется из главной программы с помощью вызова AddNodes(pRoot, N). В этом вызове фактический параметр N обязательно должен иметь конкретное значение, например – заданное пользователем количество вершин в строящемся ИСД. Однако, первый фактический параметр pRoot, являясь выходным, получит свое значение лишь после отработки всех рекурсивных вызовов, при возврате в главную программу.
Для понимания работы приведенной процедуры целесообразно вручную расписать шаги ее работы для простейшего дерева из трех вершин. Пусть элементами дерева являются символы A, B, C. В результате работы мы должны получить: pRoot -> A, A.left -> B, A.right -> C, B.left -> nil, B.right -> nil, C.left -> nil, C.right -> nil.
Тогда схема построения ИСД будет:
· Главная программа: вызов AddNodes (pRoot, 3)
· П/п 1: Nl = 1, Nr = 1, создание вершины A, вызов AddNodes (A.left, 1)
· П/п 1-2: сохранение в стеке значений Nl = 1, Nr = 1, адреса A
· П/п 1-2: Nl = 0, Nr = 0, создание вершины B, вызов
AddNodes (B.left, 0)
· П/п 1-2-3: сохранение в стеке значений Nl = 0, Nr = 0, адреса B
· П/п 1-2-3: aN = 0, pCurrent = nil, возврат к 1-2
· П/п 1-2: восстановление Nl = 0, Nr = 0, вых. параметр B.left = nil
· П/п 1-2: вызов AddNodes (B.right, 0)
· П/п 1-2-3: сохранение в стеке значений Nl = 0, Nr = 0, адреса B
· П/п 1-2-3: aN = 0, pCurrent = nil, возврат к 1-2
· П/п 1-2: восстановление Nl = 0, Nr = 0, вых. параметр B.right = nil
· П/п 1-2: pCurrent = адрес B, возврат к 1
· П/п 1: восстановление Nl = 1, Nr = 1, вых. параметр A.left=адрес B
· П/п 1: вызов AddNodes (A.right, 1)
· П/п 1-2: сохранение в стеке значений Nl = 1, Nr = 1, адреса A
· П/п 1-2: Nl = 0, Nr = 0, создание вершины C, вызов
AddNodes (C.left, 0)
· П/п 1-2-3: сохранение в стеке значений Nl = 0, Nr = 0, адреса C
· П/п 1-2-3: aN = 0, pCurrent = nil, возврат к 1-2
· П/п 1-2: восстановление Nl = 0, Nr = 0, вых. параметр C.left = nil
· П/п 1-2: вызов AddNodes (C.right, 0)
· П/п 1-2-3: сохранение в стеке значений Nl = 0, Nr = 0, адреса C
· П/п 1-2-3: aN = 0, pCurrent = nil, возврат к 1-2
· П/п 1-2: восстановление Nl = 0, Nr = 0, вых. параметр C.right = nil
· П/п 1-2: pCurrent = адрес C, возврат к 1
· П/п 1: восстановление Nl = 1, Nr = 1, вых. параметр A.right=адрес C
· П/п 1: pCurrent = адрес A, возврат в главную программу
· Главная программа: установка выходного параметра pRoot = адрес A
Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 488;