Оценка эффективности статистического приемочного контроля с помощью операционных характеристик

Какой из возможных планов контроля окажется наиболее эффективным в каждом конкретном случае, оценивают с помощью операционных характеристик. Остановимся подробнее на оценке эффективности планов контроля по альтернативному признаку с использованием операционных характеристик.

Закон сложения вероятностей: «вероятность наступления одного из нескольких несовместных событий равна сумме их вероятностей».

Закон умножения вероятностей: «если два события независимы, то вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей».

Пусть партия, состоящая из N изделий, содержит некоторую долю p изделий определенного типа (например, дефектных), некоторую долю q изделий другого типа (например, бездефектных). Тогда вероятность извлечь из партии дефектное изделие составляет p, бездефектное – q. В данном случае:

p=1-q. (74)

При использовании выборочного контроля необходимо знать, какова вероятность получения 0, 1, 2, 3, 4 ... дефектных изделий в выборке, если известна доля брака во всей партии. На основании этого знания можно по результатам выборки говорить об уровне дефектности всей партии.

Для партии из N изделий:

- вероятность извлечения одного дефектного изделия – p;

- вероятность извлечения двух дефектных изделий – p² (на основании закона умножения вероятностей);

- вероятность извлечения одного бездефектного изделия – q;

- вероятность извлечения двух бездефектных изделий – q²;

Вероятность извлечения одного дефектного и одного бездефектного изделия – 2pq (на основании законов сложения и умножения вероятностей).

Сумма вероятностей при извлечении двух изделий составляет p²+2pq+q². Для трех изделий p³+3p²q+3pq²+q³. Эти выражения результат разложения биномов (p+q)² и (p+q)³ соответственно.

Комбинации p и q, соответствующие различным событиям, можно получить с помощью решетчатой диаграммы (рисунок 24).

По горизонтали отложено количество проверенных изделий.

По вертикали отложено количество выявленных дефектов.

Рисунок 24 – Решетчатая диаграмма для 3-х проверенных изделий

Каждый квадрат при известной доле дефектных и бездефектных изделий в выборке позволяет вычислять вероятность того, что будет извлечена соответствующая ему комбинация дефектных и бездефектных изделий. Так клетке 3qp² отражает вероятность того, что в выборке объемом 3 изделия одно окажется годным, два – бракованными, а, например, сумма двух клеток 3qp²+q³ – вероятность того, что в выборке объемом 3 изделия либо одно окажется годным, два – бракованными, либо все три изделия окажутся годными.

Продолжить таблицу для больших объемов выборки можно используя формулу для числовых коэффициентов клеток:

, (75)

где n – число проверяемых изделий (объем выборки),

d – число дефектных изделий.

Пример плана выборочного контроля

Рассмотрим план выборочного контроля, в соответствии с которым проверяется 10 изделий и партия принимается, если обнаруживается два или менее дефектных изделий, и бракуется, если таковых обнаруживается три или более. Такая схема обозначается: 10(2/3). Вероятность принятия составляет

P=q¹⁰+10pq⁹+45p²q⁸. (76)

Используя эту формулу, можно построить кривую операционной характеристики для различных значений p, соответствующих данной схеме контроля.

Кривые операционных характеристик характеризуют степень риска для потребителя и изготовителя, связанного с использованием определенного плана выборочного контроля. По оси абсцисс откладывается доля дефектных изделий в партии, предъявляемой для контроля продукции, а по оси ординат – вероятность ее принятия. Каждому плану выборочного контроля соответствует определенная операционная характеристика, которая строится на основании объема выборки и допустимого числа дефектных изделий.

Пример операционной характеристики приведен на рисунке 25.

Рисунок 25 – Кривая операционной характеристики

На кривой выделяют следующие характерные точки:

1 Приемлемый уровень качества. Показатель определяется как максимальный процент дефектных изделий, который может считаться удовлетворительным с точки зрения целей выборочного контроля, т.е. процент дефектных изделий при заданной вероятности принятия продукции. Обычно устанавливается уровень качества, который заказчик будет считать приемлемым (типовое значение – 95%).

2 Точка безразличия или точка равного риска для покупателя и продавца. Определяет такой уровень качества, при котором партия имеет одинаковые шансы, как быть забракованной, так и принятой. В данном случае поставщик и потребитель несут одинаковые риски.

3 Допустимый предел дефектных изделий в одной партии. Этот показатель есть число, выражающее уровень брака, с которым согласен потребитель при условии, что вероятность события, заключающегося в том, что доля брака в партии, предъявляемой на контроль, больше этого числа, достаточно мала. Часто выбирается 10% риск потребителя. Это значит, что с 10% вероятностью, потребитель может принять партию продукции, качество которой ниже приемлемого уровня.