Графо-аналитический метод решения задач математического программирования

Этим методом вручную решаются простые задачи оптимизации. Математические модели в этих задачах не должны быть сложными, поскольку в противном случае требуется много времени для их решения.

Пример №1. Однопараметрическая однокритериальная задача оптимизации.

Дан один критерий у. Объект (процесс) описан уравнением (уравнениями), включающими один искомый параметр y = f(x). Имеется система ограничений:

1) х ³ а₁; 2) а₂ £ х £ b₁.

Необходимо найти оптимальное значение параметра х_опт, обращающее целевую функцию в максимум или минимум.

Задача решается в два этапа:

1) построение области допустимых решений (ОДР);

2) нахождение в пределах ОДР оптимального решения.

При построении ОДР на первом этапе рассматривается система ограничений. Все ограничения должны быть выполнены. Выполнение первого ограничения означает, что искомое значение параметра х должно находиться правее а₁ (рис. 3.1). Выполнение второго ограничения означает, что искомое значение параметра х должно находиться в интервале (на отрезке) [a₂, b₁].

Рис. 3.1. Схема построения области допустимых решений

На втором этапе применяют метод перебора. Суть его заключается в следующем. В пределах ОДР через определенный интервал h выбирается ряд значений параметра х. В рассматриваемом случае ОДР разбита на четыре отрезка, и выбрано пять значений параметра х. Для этих значений рассчитываются соответствующие значения целевой функции. Среди них находят минимальное (максимальное) значение. Значение параметра, обращающее целевую функцию в минимум (максимум), является оптимальным. Если в рассматриваемом случае целевая функция стремится к минимуму, то х_опт = х₃, если к максимуму, то х_опт = х₅.

При решении практических задач оптимизации всегда следует обращать внимание на вид целевой функции. Это значительно упрощает работу как при решении задач вручную с применением графо-аналитического метода, так и при решении с использованием компьютерных программ.

Рассмотрим частный случай, когда целевая функция линейна (рис. 3.2). В данном случае на втором этапе вычисляют значения целевой функции только на границах ОДР. Эти значения сравнивают и выбирают наименьшее или наибольшее. Если целевая функция стремится к минимуму, то х_опт = b₁, если к максимуму, то х_опт = a₂.

Рис. 3.2. Пример задачи с линейной целевой функцией

Пример №2. Многопараметрическая однокритериальная задача оптимизации.

Дан критерий у = х₂ / х₁. Требуется найти х_1опт, и х_2опт, обращающие в максимум целевую функцию у = х₂ / х₁ ® max при следующих ограничениях:

1 £ х₁ £ 8, 2 £ х₂ £ 12, х₁ × х₂ ³ 10.

Задача решается в два этапа:

1) построение ОДР;

2) нахождение в пределах ОДР оптимального решения.

Построение ОДР в данной задаче в отличие от задачи однопараметрической заключается в том, что работать нужно в двух направлениях. В итоге в плоскости х₁0х₂ ОДР будет представлять собой многогранник (рис. 3.3).

На втором этапе необходимо вычислить значения целевой функции в пределах ОДР. В данном примере искомая точка, определяющая оптимальные значения искомых параметров, находиться на границе ОДР:

х_1опт = 1, х_2опт = 12.

Если х₂ / х₁ ® min, то х_1опт = 8, х_2опт = 2.

Рис. 3.3. Область допустимых решений для двухпараметрической
однокритериальной задачи оптимизации