Классификация моделей

Одна из возможных классификаций видов моделей приведена на рис. 2.1. В зависимости от характера изучаемых процессов в системе модели могут быть разделены на детерминированные и стохастические, статические и динамические, дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные.

Детерминированные моде­ли отображают детерминированные процессы, то есть процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздейст­вий.Стохастические модели отображают вероятностные про­цессы и события. В этом случае анализируется ряд реализаций случайного процесса, и оцениваются средние характеристики, то есть набор однородных реализаций.

Статические модели служат для описания поведения объекта в какой-либо момент времени. Динамические модели отражают поведение объекта во времени.

Дискретные модели служат для описания процессов, которые предполагаются дискретными. Непрерывные модели позволяют отразить непрерывные процессы в системах. Дискретно-непрерывные модели используются для случаев, когда хотят выделить наличие как дискретных, так и непрерывных процессов.

В зависимости от формы представления объекта можно выделить мысленное и реальное моделирование.

При реальном моделировании ис­пользуется возможность исследования различных характеристик либо на реальном объекте целиком, либо на его части. Такие исследования могут проводиться как на объектах, работающих в нормальных режимах, так и при организации специальных режи­мов для оценки интересующих исследователя характеристик (при других значениях переменных и параметров, в другом масштабе времени).

Натурными моделями называют результаты проведения исследования на реальном объекте с последующей обработкой результатов экс­перимента на основе теории подобия.

Другим видом реальных моделей являются физические, отличающиеся от натурных тем, что исследование проводится на установках, которые сохраняют природу явлений и обладают физи­ческим подобием. В процессе физического моделирования задаются некоторые характеристики внешней среды, и исследуется поведение либо реального объекта, либо его модели при заданных или со­здаваемых искусственно воздействиях внешней среды.

Мысленные модели часто является единственным способом моделирования объектов, которые либо практически нереализуемы в заданном интервале времени, либо существуют вне условий, возможных для их физического создания (как, например, многие ситуации микромира).

Рис. 2.1. Классификация видов моделей

При наглядном моделировании на базе представлений человека о реальных объектах создаются различные наглядные модели, отображающие явления и процессы, протекающие в объекте.

Символические модели представляют собой искусственный процесс создания логического объекта, который замещает реальный и выражает основные свойства его отношений с помощью опреде­ленной системы знаков или символов.

Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристи­ки рассматриваемого реального объекта.

2.3. Классификация математических моделей

Классификация в любой области знаний чрезвычайно важна. Она позволяет обобщить накопленный опыт, упорядочить понятия предметной области. Не является исключением в этом смысле и математическое моделирование. В таблице 2.1 показаны виды математических моделей по различным признакам классификации.

Приведенная классификация математических моделей может быть применена по отношению к любым объектам. Рассмотрим особенности различных видов моделей применительно к объектам (процессам) в машиностроении.

Таблица 2.1 – Классификация математических моделей

Математические модели на микроуровнепроизводственного процесса отражают физические процессы, протекающие, например, при резании металлов. Они описывают процессы на уровне перехода.

Математические модели на макроуровне производственного процесса описывают технологические процессы.

Математические модели на метауровне производственного процесса описывают технологические системы (участки, цехи, предприятие в целом).

Теоретические математические модели создаются в результате исследования объектов (процессов) на теоретическом уровне. Например, существуют выражения для сил резания, полученные на основе обобщения физических законов. Но они не приемлемы для практического использования, т. к. очень громоздки и не совсем адаптированы к реальным процессам обработки материалов.

Эмпирические математические модели создаются в результате проведения экспериментов (изучения внешних проявлений свойств объекта с помощью измерения его параметров на входе и выходе) и обработки их результатов методами математической статистики.

Детерминированныематематические модели описывают поведение объекта с позиций полной определенности в настоящем и будущем. Примеры таких моделей: формулы физических законов, технологические процессы обработки деталей и т. д.

Вероятностные(стохастические) математические модели учитывают влияние случайных факторов на поведение объекта, т. е. оценивают его будущее с позиций вероятности тех или иных событий. Примеры таких моделей: описание ожидаемых длин очередей в системах массового обслуживания, ожидаемых объемов выпуска сверхплановой продукции производственным участком, точности размеров в партии деталей с учетом явления рассеяния и т. д.

Алгоритмическиематематические модели выражают связи между выходными параметрами и параметрами входными и внутренними в виде алгоритма.

Аналитическиематематические модели представляют собой явные математические выражения выходных параметров как функций от параметров входных и внутренних. Аналитическое моделирование основано на косвенном описании моделируемого объекта с помощью набора математических формул. Язык аналитического описания содержит следующие основные группы семантических элементов: критерий (критерии), неизвестные, данные, математические операции, ограничения.

Наиболее существенная характеристика аналитических моделей заключается в том, что модель не является структурно подобной объекту моделирования. Под структурным подобием здесь понимается однозначное соответствие элементов и связей модели элементам и связям моделируемого объекта.

При аналитическом моделировании различают три основных класса математических моделей:

- на базе классической математики (дифференциальные, интегральные, вариационные и т. п.);

- поисковые модели – используются в тех случаях, когда характер и поведение функции практически неизвестны, а стоит задача поиска экстремума;

- модели исследования операций (математическое программирование, теория принятия решений, системы массового обслуживания, управление запасами, современная комбинаторика и др.).

Аналитические модели являются эффективным инструментом для решения задач оптимизации процессов, протекающих в технологических системах, а также оптимизации и вычисления характеристик самих технологических систем.

Важным моментом является размерность конкретной аналитической модели. Часто для реальных технологических систем (автоматических линий, гибких производственных систем) размерность их аналитических моделей столь велика, что получение оптимального решения оказывается весьма сложным с вычислительной точки зрения. Для повышения вычислительной эффективности в этом случае используют различные приемы. Один из них связан с разбиением задачи большой размерности на подзадачи меньшей размерности так, чтобы автономные решения подзадач в определенной последовательности давали решение основной задачи. При этом возникают проблемы организации взаимодействия подзадач, которые не всегда оказываются простыми. Другой прием предполагает уменьшение точности вычислений, за счет чего удается сократить время решения задачи.

Достоинства аналитических моделей:

- простота получения и работы с этой моделью;

- имеются большие наработки по математическим моделям в классической и прикладной математике;

- большая часть математических моделей может работать для различных областей науки и техники.

Недостатки аналитических моделей:

- сложность моделирования случайных событий;

- отдельные части сложных систем, как правило, требуют различных математических моделей;

- на предварительных этапах проектирования аналитические модели менее эффективны чем, например эвристические (неформальные).

Имитационныематематические модели – это алгоритмические модели, отражающие развитие процесса (поведение исследуемого объекта) во времени при задании внешних воздействий на процесс (объект). Например, это модели систем массового обслуживания, заданные в алгоритмической форме.

Имитационное моделирование основано на прямом описании моделируемого объекта. Существенной характеристикой таких моделей является структурное подобие объекта и модели. Это значит, что каждому существенному с точки зрения решаемой задачи элементу объекта ставится в соответствие элемент модели. При построении имитационной модели описываются законы функционирования каждого элемента объекта и связи между ними.

Работа с имитационной моделью заключается в проведении имитационного эксперимента. Процесс, протекающий в модели в ходе эксперимента, подобен процессу в реальном объекте. Поэтому исследование объекта на его имитационной модели сводится к изучению характеристик процесса, протекающего в ходе эксперимента.

Основным аргументом имитационного моделирования является текущее системное время t. Большинство имитационных моделей используют для имитации особые моменты t – начало и конец детерминированных и случайных событий. Для планирования случайных событий часто используют генератор псевдослучайных чисел.

Ценным качеством имитации является возможность управлять масштабом времени. Динамический процесс в имитационной модели протекает в так называемом системном времени. Системное время имитирует реальное время. При этом пересчет системного времени в модели можно выполнять двумя способами. Первый способ заключается в «движении» по времени с некоторым постоянным шагом. Второй способ заключается в «движении» по времени от события к событию, при этом считается, что в промежутках времени между событиями в модели изменений не происходит.

Имитационное моделирование основано, как правило, на компьютерном повторении детерминированных и случайных событий системы во временной шкале. Примерами систем для имитационного моделирования являются производственные системы (завод, цех, участок), технологические процессы, ракетно-авиационные комплексы, сложные изделия типа авиационных двигателей.

Для имитационного моделирования используются два типа языков – универсальные (Фортран, Паскаль и др.) и специальные имитационные (Симула, TPSS. SLAM и др.), которые применяются для определенного класса систем.

Достоинства имитационных моделей:

- моделируются системы любой степени сложности;

- наиболее удобный инструмент для моделирования случайных событий;

- легко моделируются отдельные части системы, имеющие различную природу;

- разработаны и применяются десятки специальных языков для имитационного моделирования.

Недостатки имитационных моделей:

- высокие затраты времени, средств, требуются высококвалифицированные специалисты;

- модели являются структурно не гибкими;

- субъективное влияние исследователя до начала моделирования при определение законов и параметров случайных распределений;

- при моделировании требуются многократные повторения, то есть увеличиваются затраты машинного времени.

Комбинированныематематические модели позволяют объединить достоинства аналитического и алгоритмического моделирования. При построении комбинированных моделей производится предварительная декомпозиция процесса функционирования модели на составляющие подпроцессы. Для тех из них, где это возможно, используются аналитические модели, а для остальных процессов строятся алгоритмические модели.

Функциональныематематические модели предназначены для отображения информационных, физических, временных процессов, протекающих в работающем оборудовании, в ходе выполнения технологических процессов и т. д. Характерным примерами функциональных моделей являются математические модели, используемые при расчете и оптимизации режимов резания.

Структурно-логическиематематические модели предназначены для отображения структурных свойств объектов. Например, в САПР ТП для представления структуры технологического процесса, расцеховки изделий используется структурно-логические модели.

Структурно-логические математические модели подразделяются на табличные, сетевые и перестановочные.

Табличная модель описывает однуконкретную структуру технологического процесса. В табличной модели каждому набору условий соответствует единственный вариант проектируемого технологического процесса. Поэтому табличные модели используют для поиска типовых проектных решений.

Пример. При обработке группы деталей d₁, d₂, d₃ на прутковом токарном автомате последовательность обработки их поверхностей устанавливается с помощью табличных моделей (рис. 2.2). Каждая деталь имеет поверхности с определенными свойствами F₁ – F₈.

Деталь d₁ Деталь d₂ Деталь d₃

Рис. 2.2. Эскизы деталей для обработки на прутковом токарном автомате

На рис. 2.3. представлены табличные модели в виде графов взаимосвязей переходов при обработке деталей d₁, d₂, d₃ на данной операции.

Рис. 2.3. Графы взаимосвязей переходов при обработке деталей:
t₁ – подрезка торца; t₂, t₃, t₄ – точение наружной цилиндрической поверхности;
t₅ – сверление; t₆ – зенкерование; t₇ – зенкование; t₈ – отрезка

Для представления данных об обработке деталей на одном из языков САПР, граф может быть удобно описана в виде таблиц, которые легко превращаются в массивы информации (таблица 2.2).

Таблица 2.2 – Связи между свойствами поверхностей и технологическими
переходами обработки детали d₁

В этой, а также последующих таблицах данного раздела логическая единица обозначает наличие связи, а нуль – отсутствие таковой.

Сетевая модель описывает множество структур технологического процесса, отличающихся количеством и (или) составом элементов структуры при неизменном порядке.

Пример. Сетевая модель технологического проектирования маршрута обработки детали «Зубчатое колесо», эскиз которой представлен на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Эскиз детали «зубчатое колесо»

На рис. 2.5 показан граф взаимосвязи технологических операций обработки детали по возможной последовательности их выполнения.

Рис. 2.5. Граф взаимосвязи операторов (технологических операций)
по возможной последовательности их выполнения

Приведенный на рис. 2.5 граф легко представляется в виде матрицы этого графа, которая в свою очередь может быть без труда описана на языке САПР.

Кроме графа сетевая модель включает в себя таблицу связей свойств поверхностей детали и технологических операций – таблица 2.2.

Таблица 2.3 – Связи между свойствами поверхностей детали и операторами
технологического процесса её обработки

Перестановочная модель описывает множество структур технологического процесса, отличающихся количеством и (или) составом элементов структуры при изменении отношения порядка.

Отношения порядка в этих моделях задаются с помощью графа, содержащего ориентированные циклы.

Пример. Расцеховка при изготовлении изделия (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Граф, отображающий расцеховку при изготовлении изделия:
P₁ – литейный цех; P₂ – кузнечный; P₃ – механический; P₄ – термический;
P₅ – механосборочный; P₆ – общей сборки; P₇ – испытательный; P₈ – упаковочный.