Регрессионный и корреляционный методы анализа при оптимизации технологических процессов

Эти методы широко применяются в технико-экономи­ческих исследованиях для:

установления зависимости между свойствами продук­ции и технологическими факторами ее изготовления;

установления связи между некоторыми характери­стиками, которые определяют условия эксплуатации из­делий;

изучения взаимосвязи между факторами техноло­гического процесса, а также между факторами и технико-экономическим параметром оптимизации процесса.

Корреляция — это статистическая зависимость, проявляющаяся, когда ре­зультат опыта зависит не только от исследуемых фак­торов, но и от ряда других меняющихся условий. Пар­ная корреляция изучает за­висимость параметра от од­ного фактора, множественная — от нескольких факторов. Оптимизация технологических процессов с помощью корреляционного метода проводится по этапам.

На первом этапе устанавливается наличие корреля­ционной связи между изучаемыми признаками, например между фактором х и параметром оптимизации у. Для этого исходные данные представляются в виде кор­реляционного поля точек с координатами х и у (рис. 22.2).

На втором этапе определяют форму связи. С этой целью производят расчет эмпирической и теоретической линии регрессии. Для построения эмпирической линии регрессии на основании корреляционной таблицы опреде­ляют средние значения параметра оптимизации у для каждого интервала разбиения:

где у — среднее значение параметра у в интервале ∆х₍; y_f — среднее значение у по интервалам ∆y_t; m — число то­чек в интервалах ∆x_i и ∆y_i.

Ломаная линия АВ (рис. 22.2), соединяющая точки (x_iy_i) отрезками, называется эмпирической линией регрес­сии.

По виду эмпирической линии строят и определяют теоретическую линию регрессии CD [в случае прямоли­нейной зависимости по уравнению

Коэффициенты b_o и b₁ определяют с помощью МНК, решая систему нормальных уравнений для выборки N значений:

На третьем этапе определяют тесноту связи между величинами х и у. Для этого вычисляют коэффициент парной корреляции:

Величина r_ху показывает силу связи между параметра­ми х и у. Исследование полученного уравнения прово­дится методом регрессионного анализа и сводится к установлению адекватности уравнения и оценки значи­мости коэффициентов уравнения.

Адекватность уравнения при наличии параллельных опытов проводится по критерию Фишера:

где Soct {у} — остаточная дисперсия; £восп_Р {у} — диспер­сия воспроизводимости.

Числовые значения дисперсий определяют по форму­лам

где y_t — теоретическое значение параметра оптимизации; y_f — среднее значение параметра оптимизации, взятое из п = 2 параллельных опытов; y′_i — значение параметра оп­тимизации в одном из п = 2 параллельных опытов.

Если F_экс < F_табл (f₁, /₂), то уравнение адекватно пред­ставляет результаты эксперимента.

Оценка значимости коэффициентов математической модели проводится по критерию Стьюдента t:

Если ‌‌‌‌׀‌‌‌‌b_i‌‌‌‌׀‌‌‌‌> ∆b_i,то коэффициент F значим.

Адекватность полученного уравнения говорит о воз­можности использовать уравнения для приближенных расчетов параметра оптимизации у по заданным факто­рам x_t.

К недостаткам методов пассивного наблюдения сле­дует отнести: а) необходимость большого количества ин­формации для получения достоверных данных; б) интер­поляционный характер математической модели, т. е. она справедлива лишь для исследуемого интервала измене­ния факторов x_i.

Однако способ пассивной оптимизации является эко­номически эффективным при оптимизации реального не­прерывного процесса. Пассивная оптимизация является подготовкой к активному эксперименту.

Методы планирования эксперимента для оптимизации технологических процессов

Методы планирования эксперимента начали успешно развиваться и применяться с 1960-х годов в связи с вне­дрением комплексной автоматизации производственных процессов и ЭВМ. Методы планирования эксперимента называют часто активным экспериментом. Эти методы позволяют разработать алгоритм оптимального управле­ния технологическим процессом. К преимуществам этого метода относят минимальное требуемое число опытов, чтобы получить математическую модель и установить оптимальную область параметра оптимизации. В отли­чие от классического эксперимента, где каждый изучае­мый фактор исследуется отдельно, в активном экспери­менте все факторы изменяются сразу и причем целена­правленно.

В настоящее время в планировании эксперимента можно выделить следующие направления:

оптимизация многофакторного экстремального экспе­римента (метод Бокса — Уилсона);

эксперимент в «почти стационарной области»;

отсеивающий эксперимент;

эксперимент с качественными факторами;

симплексный метод планирования эксперимента;

эволюционное планирование экспериментов.

Из перечисленных методов наибольшее распростране­ние для оптимизации многофакторных экстремальных технологических процессов имеет метод Бокса — Уилсо­на. При оптимизации какого-либо технологического про­цесса по этому методу зависимость между выходом у и входами х_i можно записать так:

y = f(x₁, х₂, ... ,х_к).

Геометрически эта функция отклика представляет собой поверхность, на которой необходимо найти экстремаль­ное значение. Поверхность должна быть непрерывной и гладкой и иметь один оптимум.

В методе Бокса — Уилсона выделяют два этапа:

1) поиск оптимальной области — «крутое восхождение»;

2) описание «почти стационарной» области. Стратегия поиска оптимума заключается в последовательной поста­новке небольших серий опытов по матрице планирова­ния.

Для построения матриц планирования используется факторный анализ, а для построения математической мо­дели — регрессионный анализ.

Эксперимент обычно осуществляется по матрице пол­ного факторного эксперимента (ПФЭ) с числом опытов N = 2^к , где к — число факторов с числом уровней факто­ров, равным двум, или по матрице дробного факторного эксперимента (ДФЭ) с числом опытов N = 2^к-1; N= 2^k-2 и т, д.

ПФЭ — это реализация всех возможных комбинаций из к факторов. Например, для к = 2 число опытов будет N = 2² = 4. Матрица планирования в кодированном виде представлена в табл. 22.2.

Таблица 22.2

Используя регрессионный метод анализа исвойства матриц планирования (симметричность, ортогональ­ность, нормировка), определяют коэффициенты уравнения регрессии по формулам

и строят линейную математическую модель

Далее проводят статистический анализ уравнения, проверяют на адекватность. После статистического ана­лиза уравнения производят интерпретацию уравнения, которая сводится к оценке влияния значимых факторов на параметр оптимизации. Принятие решений после по­строения и интерпретации модели процесса зависит от числа факторов, дробности плана, цели исследования, адекватности модели, значимости факторов, информации о положении оптимума. Например, если линейная мо­дель адекватна, а область оптимума не достигнута, то проводят «крутое восхождение».

Крутое восхождение — это движение по наиболее ко­роткому пути в направлении градиента функции. Движе­ние по градиенту реализуют до тех пор, пока улучшается значение параметра оптимизации. Если достигнуть опти­мума не удается, то ставят новую серию опытов и опре­деляют новое направление движения по градиенту. Такой «шаговый» процесс продолжают до тех пор, пока иссле­дователь не попадает в «почти стационарную» область, где линейное приближение оказывается неадекватным. Координаты опытов в крутом восхождении рассчиты­вают путем прибавления к основному уровню «шага» размером b_iJ_i где b_i — коэффициент регрессии уравнения, a J_i — интервал изменения фактора. Крутое восхождение считается эффективным, если хотя бы один из реализо­ванных опытов даст лучший результат по сравнению с наилучшим результатом опыта в серии. После крутого восхождения принимают решения о дальнейшей оптими­зации процесса. Например, если оптимальная область до­стигнута, то эксперимент заканчивают. Метод позволяет определить математическую модель процесса и оптимум параметра оптимизации.

* Маркс К., Энгельс Ф. 2-е изд., т. 23, с. 383.

** Там же, с. 191.

* Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд., т. 47, с. 461

** Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд., т. 4, с. 152

* Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 5, с. 125.

* Маркс К., Энгельс Ф.Соч. 2~е изд., т. 46, ч. II, с. 213.

* В атмосфере над 1 га поверхности земли находится до 80 тыс. т азота.

** При переходе от агрегатов мощностью 120 т/сут к агрегатам мощностью 1360 т/сут себестоимость аммиака снижается на 60%, а производительность труда увеличивается в 7,2 раза.

* В этой реакции число молей конечных продуктов (1+4 = 5) больше числа молей исходных реагентов (1 + 1=2), что указывает на ее протекание с увеличением объема.

* Световой поток состоит из отдельных порций энергии — фотонов

* Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 36, с. 188.

* В последние годы производство простого суперфосфата как низко­концентрированного и малоперспективного удобрения непрерывно сокра­щается, а производство двойного суперфосфата увеличивается.

* В кибернетике под «черным ящиком» понимают устройство, вы­полняющее некоторую операцию по преобразованию входных пере­менных в выходные параметры.