Напряжения в наклоненных сечениях стержня

Рассмотрим стержень, на который действует сила растяжения F (рис. 9.6,а). Через произвольную точку nпроведем поперечное сечение nn₂,площадь которого равняется A и сечение nn₁, расположенное под углом α относительно поперечного сечения. Площадь этого сечения обозначим через A_α.

Соотношение между площадями двух сечений определяется равенством:

(9.3)

В точках наклоненного сечения nn₁действуют равномерно распределенные напряжения p(рис.9.6,б). Равнодействующая этих напряжений равняется произведению pA_αи направлена вдоль оси стержня. Из условия равновесия нижней части стержня имеем: ΣX_i =0, pA_α - F = 0, откуда pA_α = F, или

(9.4)

Подставим в зависимость (9.4) вместо площади A_α ее значения из зависимости (9.3), в результате получим:

, окончательно (9.5)

Пользуясь правилом параллелограмма, разложим напряжение pна две составляющие: σ_αи τ_α. Составляющая σ_α направлена перпендикулярно наклоненному сечению и называется нормальным напряжением в наклонном сечении, а составляющая τ_α действует в плоскости сечения и называется касательным напряжением в том же сечении (рис. 9.6,в). Нормальное напряжение в наклоненном сечении стержня имеет положительный знак в случае, если оно направлено от сечения (напряжение растяжения) и отрицательный знак, если оно направлено к сечению (напряжение сжатия).

Рис.9.6

Касательное напряжениеτ_α в наклоненном сечении принимается положительным, если вектор этого напряжения пытается повернуть отсеченную часть стержня в направлении часовой стрелки относительно произвольной точки С, расположенной на внутренней нормали сечения.

Из силового треугольника (рис 9.6,в), находим:

, или

(9.6)

, или

(9.7)

Анализируя формулы (9.6) и (9.7), можем сделать следующие выводы:

1) Нормальные напряжения имеют максимальные значения при α = 0 (т.е. в поперечных сечениях стержня) и нулевые значения при α = 90⁰ (т.е. в сечениях параллельных оси стержня).

2) Касательные напряжения имеют максимальные значения в сечениях, расположенных под углом 45⁰ к оси стержня. Из формулы (9.7), при α = 45⁰, легко найдем максимальное значение касательного напряжения, равное половине нормального напряжения, которое возникает в поперечном сечении стержня. При α = 90⁰ по той же формуле находим τ_α = 0.Таким образом, в сечениях стержня, параллельных оси, касательные напряжения не возникают.