Методы уточнения корней

Отделение корней

Рассмотрим графический способ отделения корней уравнения (1), который используется, когда отсутствует информация о расположении корней. В интересующей нас области изменения неизвестного (интервал отделения) xÎ[x₀, x_n] вычислим ряд значений левой части уравнения (1) и результаты поместим в табл. 1, по которой можно построить график (рис. 1), из которого следует, что на данном интервале уравнение имеет 3 корня.

Рисунок 1. График левой части уравне­ния

Шаг изменения аргумента х при вычислении табл. 1 выбирается так, чтобы он был меньше расстояния между корнями. Только в этом случае удается отделить все корни.

Автоматизация нахождения интервалов изоляции основана на свойстве интервалов изоляции, заключающемся в различии знаков функции f (х) на их границах. Пример процедуры Roots, реализующей данный подход, приведен ниже. Параметры, передаваемые в процедуру:f-имя функции; а и б-границы интервала отделения;N-количество подинтервалов. Ниже приведен пример отделения корней для уравнения на отрезке [-0,1;6,5].

Из графика видно, что на данном интервале уравнение имеет 5 корней.

При четырех подинтервалах (крупном шаге) удалось отделить только 3 из 5 корней.

При шести подинтервалах (мелком шаге) удалось отделить все 5 корней.

Методы уточнения корней

Метод дихотомии

Считаем, что отделение корней уравнения (1) проведено и на интервале изоляции [а, b] расположен один корень, который необходимо уточнить с погреш­ностью e (рис. 2).

Рисунок 2. Метод дихотомии

Метод дихотомии, или половинного деления, заключается в следующем. Определяем середину отрезка [а, b]: и вычисляем функцию . Далее делаем выбор, какую из двух частей отрезка взять для дальнейшего уточнения корня. Если левая часть уравнения f(x) есть непрерывная функция аргумента х, то корень будет находиться в той половине отрезка, на концах которой f(x) имеет разные знаки. На рис. 3 это будет отрезок [а, ], т.е. для очередного шага уточнения точку b перемещаем в точку и продолжаем процесс деления как с первоначальным отрезком [а, b].

Итерационный (повторяющийся) процесс будем продолжать до тех пор, пока интервал [а, b] не станет меньше заданной погрешности e:

|x_n-x_n-1|<e

или когда значения функции f(x) (невязки) не станут достаточно малы

|f(x_n)|<e₁

Рисунок 3. Алгоритм метода дихотомии