Метод Ньютона (касательных)

Алгоритм Ньютона можно получить с помощью разложения в ряд Тейлора левой части уравнения f(x) вблизи корня x_k.

f(х) = f'(x_k)( x- x_k)+ f(x_k)+…

Пренебрегая членами второго и более высоких порядков и из условия, чтобы в результате следующей итерации функция была равна нулю:

f(x_k+1)=0

получим уравнение f(x_k+1) = f'(x_k)( x_k+1- x_k)+ f(x_k)=0

Отсюда .

Рассмотрим графическую иллюстрацию метода (рис. 6). Предположим, что графическим методом определено начальное приближение х₀ к корню. В точке x₀ вычислим левую часть решаемого уравнения f₀ = f(x₀), а также производную в этой точке f'(x₀) =tga. Следующее приближение к корню найдем в точке x₁ где касательная к функции f(x), проведенная из точки (x₀, f₀), пересекает ось абсцисс. Затем считаем точку х₁ в качестве началь­ной и продолжаем итерационный процесс. Из рис. 1.6 видно, что таким способом можно приближаться к корню х*. При этом с каждой итерацией расстояние между очередным x_k+1 и предыдущим х_k приближениями к корню будет уменьшаться. Процесс уточнения корня закончим, когда выпол­нится условие |x_k+1-x_k|<e, где e - погрешность определения корня.

Рис. 6. Метод Ньютона

Метод Ньютона обладает высокой скоростью сходимости. Обычно абсолютная точность решения 10^-5 - 10^-6 достигается через 5-6 итераций.

Недостатком метода является необходимость вычисления на каждой итерации не только левой части уравнения, но и ее производной.

Можно несколько уменьшив скорость сходимости, ограничиться вычислением производной f'(x) только на первой итерации, а затем вычислять лишь значения f(x), не изменяя производной f'(x). Это алгоритм так называемого модифицированного метода Ньютона (метод Рыбакова) .

Метод Ньютона также можно использовать для уточнения корней в области комплексных значений х. В этом случае начальное приближение корня х₀ необходимо выбирать комплексным.