Числа Ферма. Теорема Пепина.
Теорема.
Если число вида p=an+1 – простое, то 1) a – четное;
2) n=2k для некоторого k.
Доказательство:
Четность a очевидна, так как иначе p было бы четным, а значит не простым.
Предположим теперь m>2 - нечетное число : n= m·2k. Тогда
=an—m—an—2m+…+a3m—a2m+am—a0 Z.
Тогда (am+1)\(an+1), значит p – составное число. Предположение неверно, следовательно верно обратное.
□
Числа Fk= +1 называются числами Ферма.
F0=3, F1=5, F2=17, F3=257, F4=65739 – простые числа. Пьер Ферма выдвигал гипотезу о простоте всех чисел Ферма, но Леонардом Эйлером в 1732 г. была показана составность числа F5.
В настоящее время существует следующий критерий проверки чисел Ферма на простоту:
Теорема Пепина
Fk – простое число .
Доказательство:
Пусть Fk – простое число. Тогда по критерию Эйлера для символа Лежандра,
.
В силу простоты, Fk не делится на 3.
Поэтому возможны два случая: Fkmod 3=1 или Fk mod 3=2.
Случай Fk mod 3=1 невозможен, так как это значило бы, что mod 3 = 0, а это не так. Поэтому Fk mod 3=2, и тогда
□
На основании теоремы Пепина построен тест Пепина, проверяющий верность сравнения . Тест Пепина детерминированный, состоит из одной итерации и дает точный ответ о простоте или составности числа Ферма.
Числа Мерсенна.
Теорема 1
Если число вида p=an—1 – простое 1) a – четное;
2) n – простое.
Доказательство:
Четность а очевидна, так как иначе р было бы четным, а значит, составным.
Допустим, что n – не простое n=mk. Тогда
=ak(m—1)+ak(m—2)+…+ak+1 Z.
Тогда (ak—1)\(an—1), значит р – не простое число. Предположение неверно, значит верно обратное.
□
Простые числа вида Mp=2p—1, где р – простое число, называются числами Мерсенна.
Теорема 2
Число вида Mp=2p—1, где р>2 – простое число, является простым в последовательности, определенной равенствами u0=4, ui+1=(ui2—2) mod Mp, выполняется up—2≡0(mod Mp).
■
Из Теорем 1 и 2 следует
Дата добавления: 2018-11-26; просмотров: 763;