Числа Ферма. Теорема Пепина.


 

Теорема.

Если число вида p=an+1 – простое, то 1) a – четное;

2) n=2k для некоторого k.

Доказательство:

Четность a очевидна, так как иначе p было бы четным, а значит не простым.

Предположим теперь m>2 - нечетное число : n= m·2k. Тогда

=an—man—2m+…+a3ma2m+ama0 Z.

Тогда (am+1)\(an+1), значит p – составное число. Предположение неверно, следовательно верно обратное.

Числа Fk= +1 называются числами Ферма.

F0=3, F1=5, F2=17, F3=257, F4=65739 – простые числа. Пьер Ферма выдвигал гипотезу о простоте всех чисел Ферма, но Леонардом Эйлером в 1732 г. была показана составность числа F5.

В настоящее время существует следующий критерий проверки чисел Ферма на простоту:

Теорема Пепина

Fk – простое число .

Доказательство:

Пусть Fk – простое число. Тогда по критерию Эйлера для символа Лежандра,

.

В силу простоты, Fk не делится на 3.

Поэтому возможны два случая: Fkmod 3=1 или Fk mod 3=2.

Случай Fk mod 3=1 невозможен, так как это значило бы, что mod 3 = 0, а это не так. Поэтому Fk mod 3=2, и тогда

На основании теоремы Пепина построен тест Пепина, проверяющий верность сравнения . Тест Пепина детерминированный, состоит из одной итерации и дает точный ответ о простоте или составности числа Ферма.

 

Числа Мерсенна.

 

Теорема 1

Если число вида p=an—1 – простое 1) a – четное;

2) n – простое.

Доказательство:

Четность а очевидна, так как иначе р было бы четным, а значит, составным.

Допустим, что n – не простое n=mk. Тогда

=ak(m—1)+ak(m—2)+…+ak+1 Z.

Тогда (ak—1)\(an—1), значит р – не простое число. Предположение неверно, значит верно обратное.

Простые числа вида Mp=2p—1, где р – простое число, называются числами Мерсенна.

Теорема 2

Число вида Mp=2p—1, где р>2 – простое число, является простым в последовательности, определенной равенствами u0=4, ui+1=(ui2—2) mod Mp, выполняется up—2≡0(mod Mp).

Из Теорем 1 и 2 следует



Дата добавления: 2018-11-26; просмотров: 774;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.008 сек.