Комбинаторный метод вычисления вероятностей

Элементы комбинаторики

В различных разделах науки и техники нередко возникают ситуации, когда результат каждого из многих проводимых опытов заранее предугадать невозможно, однако можно исследовать закономерности, возникающие при проведении серии опытов. Нельзя, напри-мер, точно сказать, какая сторона монеты окажется сверху при данном броске: герб или цифра – но при большом количестве бросков число выпадений герба приближается к по-ловине количества бросков; нельзя заранее предсказать результат одного выстрела из дан-ного орудия по данной цели, но при большом числе выстрелов частота попадания прибли-жается к некоторому постоянному числу. Исследование вероятностных закономерностей массовых однородных явлений составляет предмет теории вероятностей.

Правило произведения

Если первое событие может произойти n₁ способами, а второе - n₂ способами независимо от первого, то совместная реализация может произойти n₁×n₂ способами.

Правило суммы

Если первое событие может произойти n₁ способами, а второе - n₂ способами независимо от первого, то первое или второе события могут произойти n₁+n₂ способами.

Комбинаторный метод вычисления вероятностей

При подсчете числа элементарных исходов, составляющих события в классической схеме, часто используются известные формулы комбинаторики. Каждая из комбинаторных формул определяет общее число элементарных исходов в некотором идеализированном эксперименте по выбору наудачу m элементов из n различных элементов исходного множества E = {e₁, e₂, ..., e_n}.

При постановке каждого такого эксперимента строго оговорено, каким способом производится выбор и что понимается под различными выборками. Существуют две принципиально отличные схемы выбора: в первой схеме выбор осуществляется без возвращения элементов (это значит, что отбираются либо сразу все m элементов, либо последовательно по одному элементу, причем каждый отобранный элемент исключается из исходного множества). Во второй схеме выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге и тщательным перемешиванием исходного множества перед следующим выбором. После того, как выбор тем или иным способом осуществлен, отобранные элементы (или их номера) могут быть либо упорядочены (т.е. выложены в последовательную цепочку), либо нет. В результате получаются следующие четыре различные постановки эксперимента по выбору наудачу m элементов из общего числа n различных элементов множества Е.