Схема упорядоченных разбиений

Пусть множество E состоит из m различных элементов. Рассмотрим опыт, состоящий в разбиении множества E случайным образом на s подмножеств E₁, E₂, ..., E_s таким образом, что:

1. Множество Е_i содержит ровно n_i элементов, где i = 1, 2, ..., s.

2. Множества Е_i упорядочены по количеству элементов n_i.

3. Множества Е_i, содержащие одинаковое количество элементов, упорядочиваются произвольным образом. Например, при n = 7, n₁ = 2, n₂ = 2, n₃ = 3 разбиения {E₁ = {e₁, е₂}, Е₂ = {e₃, е₄}, Е₃ = {e₅, е₆, e₇}} и {E₁ ={e₃, е₄}, Е₂ ={e₁, е₂}, Е₃ = {e₅, е₆, e₇}} являются различными исходами данного опыта.

Число всех элементарных исходов в данном опыте определяется формулой N(W) = n!/(n₁! × n₂! × ... × n_s!).

Пример 5. Десять приезжих мужчин, среди которых Петров и Иванов, размещаются в гостинице в два трехместных и один четырехместный номер. Сколько существует способов их размещения? Какова вероятность того, что Петров и Иванов попадут в четырехместный номер?

Решение. Разбиения в данном опыте характеризуются следующими параметрами: s = 3, n = 10, n₁ = 3, n₂ = 3, n₃ = 4. Тогда N(W) = 10!/(3!×3!×4!) = 4200.

Пусть событие А - Петров и Иванов попадут в одни четырехместный номер. Благоприятствующие событию А исходы соответствуют разбиениям со следующими параметрами: s = 3, n = 8, n₁ = 3, n₂ = 3, n₃ = 2. Тогда N(A) = 8!/(3!×3!×2!) = 560. Искомая вероятность Р(A) = N(A)/N(W) = 560/4200 = 2/15.

Лекция 2 Случайные события. Классическое определение вероятности

(Тема 2.1.)

План лекции

Понятие случайного события.

Совместные и несовместные события.

Полная группа событий.

Равновозможные события.

Арифметические действия над событиями.

Понятие вероятности.

Классическое определение вероятности.

Противоположное событие.

Условная вероятность.

Теорема умножения событий.

Независимые события.

Вероятность суммы совместных и несовместных событий.

Случайные события. Частота. Вероятность.
Теория вероятностей — математическая наука, изучающая закономерности массовых случайных явлений (событий).
Основным интуитивным понятием классической теории вероятностей является случайное событие. События, которые могут произойти в результате опыта, можно подразделить на три вида:

а) достоверное событие – событие, которое всегда происходит при проведении опыта;

б) невозможное событие – событие, которое в результате опыта произойти не может;

в) случайное событие – событие, которое может либо произойти, либо не произойти. Например, при броске игральной кости достоверным событием является выпадение числа очков, не превышающего 6, невозможным – выпадение 10 очков, а случайным – выпадение 3 очков. Теория вероятностей имеет дело с такими событиями, которые имеют массовый характер. Это значит, что данная совокупность условий может быть воспроизведена неограниченное число раз. Каждое такое осуществление данной совокупности условий называют испытанием (или опытом).
Если, например, испытание состоит в бросании монеты, то выпадение герба является событием; если испытание — изготовление подшипника данного типа, то соответствие подшипника стандарту — событие; если испытание — бросание игральной кости, т. е. кубика, на гранях которого проставлены цифры (очки) от 1 до 6, to выпадение пятерки — событие.
События будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита: A, В, С, ... .
Определение Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий А и В. Суммой нескольких событий, соответ-ственно, называется событие, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из этих событий.

Пример 1. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Если событие А – попадание первого стрелка, а событие В – второго, то сумма А+В – это хотя бы одно попадание при двух выстрелах.

Пример 2. Если при броске игральной кости событием А_i назвать выпадение i очков, то выпадение нечетного числа очков является суммой событий А₁+А₂+А₃.

Назовем все возможные результаты данного опыта его исходами и предположим, что множество этих исходов, при которых происходит событие А (исходов, благоприятных событию А), можно представить в виде некоторой области на плоскости. Тогда множество исходов, при которых произойдет событие А+В, является объединением множеств исходов, благоприятных событиям А или В

А В А + В

Определение Произведением АВсобытий А и В называется событие, состоящее в том, что произошло и событие А, и событие В. Аналогично произведением нескольких событий называется событие, заключающееся в том, что произошли все эти события.

Пример 3. В примере 1 ( два выстрела по мишени) событием АВ будет попадание обоих стрелков.

Пример 4. Если событие А состоит в том, что из колоды карт извлечена карта пиковой масти, а событие В – в том, что из колоды вынута дама, то событием АВ будет извлечение из колоды дамы пик.

Геометрической иллюстрацией множества исходов опыта, благоприятных появлению произведения событий А и В, является пересечение областей, соответствующих исходам, благоприятным А и В.

А В АВ

Определение Разностью А\B событий А и В называется событие, состоящее в том, что А произошло, а В – нет.

Пример 5. Вернемся к примеру 1, где А\ В – попадание первого стрелка при промахе второго.

Пример 6. В примере 4 А\В – извлечение из колоды любой карты пиковой масти, кроме дамы. Наоборот, В \А – извлечение дамы любой масти, кроме пик.

А В А - В

Введем еще несколько категорий событий.

ОпределениеСобытия А и В называются совместными, если они могут произойти оба в результате одного опыта. В противном случае (то есть если они не могут произойти одновременно) события называются несовместными.

Замечание 1. Если изобразить графически области исходов опыта, благоприятных несовместным событиям, то они не будут иметь общих точек.

Замечание 2. Из определения несовместных событий следует, что их произведение является невозможным событием.

ОпределениеГоворят, что события А₁, А₂,…,А_п образуют полную группу, если в результате опыта обязательно произойдет хотя бы одно из событий этой группы.

Замечание. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате опыта произойдет одно и только одно из них. Такие события называют элементарными событиями.

Пример. События А₁ – А₆ (выпадение одного, двух,…, шести очков при одном броске игральной кости) образуют полную группу несовместных событий.

ОпределениеСобытия называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них является более возможным, чем другое.

При изучении случайных событий возникает необходимость количественно сравнивать возможность их появления в результате опыта. Например, при последовательном извлечении из колоды пяти карт более возможна ситуация, когда появились карты разных мастей, чем появление пяти карт одной масти; при десяти бросках монеты более возможно чередование гербов и цифр, нежели выпадение подряд десяти гербов, и т.д. Поэтому с каждым таким событием связывают по определенному правилу некоторое число, которое тем больше, чем более возможно событие. Это число называется вероятностью события и является вторым основным понятием теории вероятностей.

Отметим, что само понятие вероятности, как и понятие случайного события, является аксиоматическим и поэтому не поддается строгому определению. То, что в дальнейшем будет называться различными определениями вероятности, представляет собой способы вычисления этой величины.

Определение Если все события, которые могут произойти в результате данного опыта,

а) попарно несовместны;

б) равновозможны;

в) образуют полную группу,

то говорят, что имеет место схема случаев.

Можно считать, что случаи представляют собой все множество исходов опыта. Пусть их число равно п ( число возможных исходов), а при т из них происходит некоторое событие А (число благоприятных исходов).

Определение Вероятностью события Аназывается отношение числа исходов опыта, благоприятных этому событию, к числу возможных исходов:

Примеры: выпадение любого числа очков при броске игральной кости, появление любой карты при случайном извлечении из колоды, выпадение герба или цифры при броске монеты и т.п.

Пусть при n испытаниях событие A появилось m раз.
Отношение m/n называется частотой (относительной частотой) события A и обозначается Р(А)=m/n
Опыт показывает, что при многократном повторении испытаний частота Р(А) случайного события обладает устойчивостью. Поясним это на примере.
Пусть при бросании монеты 4040 раз герб выпал 2048 раз. Частота появления герба в данной серии опытов равна Р*(А)=m/n=2048/4040=0,5069. При бросании той же монеты 12000 раз герб выпал 6019 раз. Следовательно, в этом случае частота Р*(А)=6019/12000=0,5016. Наконец, при 24000 бросаний герб появился 12012 раз с частотой Р*(А)=0,5005. Таким образом, мы видим, что при большом числе бросаний монеты частота появления герба обладает устойчивостью, т. е. мало отличается от числа 0,5. Как показывает опыт, это отклонение частоты от числа 0,5 уменьшается с увеличением числа испытаний. Наблюдаемое в этом примере свойство устойчивости частоты является общим свойством массовых случайных событий, а именно, всегда существует такое число, к которому приближается частота появления данного события, мало отличаясь от него при большом числе испытаний. Это число называется вероятностью события. Оно выражает объективную возможность появления события. Чем больше вероятность события, тем более возможным оказывается его появление. Вероятность события A будем обозначать через Р(А). В рассмотренном выше примере вероятность появления герба, очевидно, равна 0,5.
Событие называется достоверным, если оно в данном опыте обязательно должно произойти; наоборот, событие называется невозможным, если оно в данном опыте не может произойти.
Пусть, например, из урны, содержащей только черные шары, вынимают шар. Тогда появление черного шара — достоверное событие; появление белого шара — невозможное событие.
Если событие достоверно, то оно произойдет при каждом испытании (m=n). Поэтому частота достоверного события всегда равна единице. Наоборот, если событие невозможно, то оно ни при одном испытании не осуществится (m=0). Следовательно, частота невозможного события в любой серии испытаний равна нулю. Поэтому вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного события равна нулю.
Если событие A не является ни достоверным, ни невозможным, то его частота m/n при большом числе испытаний будет мало отличаться от некоторого числа p (где 0 < p < 1 ) — вероятности события A.
Теорема сложения вероятностей.

Вероятность р(А + В) суммы событий А и В равна

Р (А + В ) = р (А) + р (В) – р (АВ). Доказательство.

что и требовалось доказать.

Следствие 1. Теорему сложения можно распространить на случай суммы любого числа событий. Например, для суммы трех событий А, В и С

Р(А + В + С) = р(А) + р(В) + р(С) – р(АВ) – р(АС) – р(ВС) + р(АВС) и т.д.

Следствие 2. Если события А и В несовместны, то т_АВ = 0, и, следовательно, вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей:

Р(А + В) = р(А) + р(В).

Определение Противоположными событиями называют два несовместных события, образующих полную группу. Если одно из них назвать А, то второе принято обозначать . Замечание. Таким образом, заключается в том, что событие А не произошло.

ТеоремаСумма вероятностей противоположных событий равна 1:

р(А) + р( ) = 1

Замечание. В ряде задач проще искать не вероятность заданного события, а вероятность события, противоположного ему, а затем найти требуемую вероятность по формуле (2.5).

Пример Из урны, содержащей 2 белых и 6 черных шаров, случайным образом извлека-ются 5 шаров. Найти вероятность того, что вынуты шары разных цветов.

Решение. Событие , противоположное заданному, заключается в том, что из урны вынуто 5 шаров одного цвета, а так как белых шаров в ней всего два, то этот цвет может быть только черным. Множество возможных исходов опыта найдем по формуле (1.5):

а множество исходов, благоприятных событию - это число возможных наборов по 5 шаров только из шести черных:

Тогда а