Некоторые свойства.

1. Линейность = .

2. Если кривая АС разбита на две части некоторой точкой В, то:

3. .

4. Если то , где - длина кривой АВ.

Пример. Вычислить интеграл :

А) по прямолинейному отрезку от 0 до .

Б) по параболе от 0 до .

Решение.

А) = =

, далее вычисляем 2 криволинейных интеграла по отрезку, на котором , заменяем , .

При этом . = = .

Б) Исходное раскрытие скобок происходит так же, как и в прошлом случае: но теперь линия это не отрезок, заданный явным уравнением , а парабола, заданная явным уравнением . Поэтому заменяем , .

= =

= .

Ответ. по отрезку: 1, по параболе: .

Как видим, в зависимости от формы кривой могут получиться разные ответы, но это здесь потому, что функция не аналитическая, она содержит , а мы доказывали теорему 4 в конце прошлого § о том, что аналитичность равносильна отсутствию в составе функции, то есть тому, что .

ЛЕКЦИЯ № 10. 17.03.2020

Вычислим интеграл от комплексной функции по замкнутому контуру.

Пример. Вычислить , где - окружность радиуса вокруг точки .

Решение.Представим функцию в виде . Движение по такой окружности можно задать формулами:

В этом случае . Тогда

= = =

домножим на сопряжённое, =

, можно сократить , а также вместо суммы квадратов sin и cos будет 1.

=

= = = .

Теорема 1. Если замкнутый контур, внутри которого во всех точках является аналитической, то .

Доказательство. = =

в двух этих интегралах - циркуляция двух векторных полей и , они потенциальны по теореме 2 прошлого §, а тогда циркуляция равна 0, то есть получаем .

Теорема 2. Если является аналитической во всех точках некоторой области , граница которой односвязна, то интеграл от функции не зависит от пути, то есть имеет одно и то же значение для любой кривой , соединяющей пару точек .

Доказательство.Аналогично прошлой теореме,

= .

Криволинейные интегралы 2 рода от векторных полей и не зависят от пути, что доказано ранее в главе «теория поля».

Так как для аналитической функции интеграл не зависит от пути, то для аналитической функции оказывается возможным ввести понятие первообразной. Введём в рассмотрение такую функцию: которая каждой точке ставит в соответствие интеграл до неё от некоторой фиксированной точки . Вводится по аналогии с вычислением потенциала поля, только в данном случае, вычисляются потенциалы двух полей и . Докажем, что построенная таким образом функция является первообразной.

Теорема 3. Функция является первообразной от функции .

Идея доказательства.Докажем, что производная от равна . По определению производной, .

Распишем разность в числителе более подробно.

= .

Интеграл в числителе можно представить с помощью значения в некоторой средней точке , расположенной между и , так как интеграл от комплексной функции распадается на два криволинейных интеграла от потенциальных векторных полей.

= = , причём при уменьшении , точка . Тогда = , что и требовалось доказать.

Примечание. Для потенциальных векторных полей верна теорема о среднем. Ведь для них интеграл не зависит от пути, и путь можно считать отрезком , тогда криволинейный интеграл сводится к , где уже обычная скалярная функция, для которой верна теорема о среднем. Тогда существует некая точка , так что криволинейный интеграл равен скалярному произведению на вектор .

Итак, - вид первообразной от комплексной функции.

Теорема 4. Для функции, аналитической на кривой , верна формула Ньютона-Лейбница: .

Доказательство.По построению первообразной,

и .

Но тогда = а тогда по 3-му свойству

это , что равно интегралу по кривой, проходящей от до (через точку ).

Тогда = = т.к. по свойству 2, их можно объединить. Итак, = .

Пример. Вычислить от 0 до двумя способами:

А) без формулы Б) по формуле Ньютона-Лейбница.

Решение.

А) = =

Пусть точки 0 и соединены по прямой (вспомним, что интеграл не зависит от пути, поэтому можем соединить их как удобнее для вычислений). Тогда , , и

= = = .

Б)По формуле: = = = = .