Элементы теории поля

Скалярная функция: отображает .

Векторная функция, которая отображает :

называется векторным полем.

Заметим, что градиент скалярной функции - это векторная функция:

, ,

То есть, по заданной скалярной функции всегда можно построить некоторое векторное поле. А вот обратная задача разрешима не всегда.

Определение. Если существует такая скалярная функция , что выполняется , , , (то есть их общая первообразная), то векторное поле называется потенциальным, а функция называется потенциалом поля .

Свойство. Если - потенциал, то - тоже потенциал.

Доказательство: , , .

Потенциал определяется с точностью до константы (точно так же как и первообразная). Именно поэтому в физике важна именно разность потенциалов, а не сам потенциал.

Пример не потенциального поля.

. Первообразная от 1 компоненты по это , однако первообразная по от второй компоненты совсем другая:

, они не совпадают.

Пример потенциального поля.

. Его потенциал: .

. : Его потенциал: .

ЛЕКЦИЯ № 5. 25.02.2020

Далее нам надо научиться:

1) выяснять, является ли поле потенциальным.

2) вычислять потенциал, если оно потенциально.

Теорема 1 даст ответ о том, как вычислять потенциал, а теорема 2 - как выяснять потенциальность поля.

Теорема 1. Поле потенциально криволинейный интеграл не зависит от пути, а зависит только от начальной и конечной точек .

При этом потенциал в любой точке вычисляется в виде где A₀ - некоторая начальная точка, как правило (0,0,0).

Доказательство.Необходимость. Если поле потенциально то

, , .

а тогда в интеграле получится а по формуле полного дифференциала это но ведь первообразная от производной - это сама функция U, тогда работа поля в итоге равна = то есть зависит только от начальной и конечной точки.

Достаточность.

Если криволинейный интеграл для поля (P,Q,R) не зависит от пути, возьмём начальную точку, например начало координат (0,0,0). Введём некоторую скалярную функцию U(x,y,z) равную работе поля от (0,0,0) до точки А(x,y,z). То есть .

А теперь мы докажем, что именно эта функция является потенциалом.

Составим путь из дуги от 0 до А и дополнительного маленького горизонтального отрезка вдоль оси Ох. Интеграл от 0 до А равен U(А). Интеграл от 0 до А₁ равен U(А₁).

Координаты точек: А (x,y,z) и А₁ (x+∆x,y,z) .

Тогда = но в интеграле по отрезку АА₁ меняется только x, при этом y, z константы, то есть dy = 0, dz = 0.

для некоторой промежуточной точки с, где достигается среднее значение.

Тогда , следовательно, = .

Но точка с тоже стремится к х при ∆x →0.

То есть . Итак, .

Аналогично, рассматривая точку А₁ с координатами А₁ (x,y+∆y,z) получили бы , а если то А₁ (x,y,z+∆z) то . Итак, поле потенциально и U(x,y,z), равная работе силы по перемещению от начальной точки до (x,y,z), является потенциалом.

Следствие. Поле F потенциально циркуляция по замкнутому контуру равна 0.

Итак, мы доказали, что поле потенциально криволинейный интеграл не зависит от пути. Этот критерий позволяет вычислить потенциал, если известно, что поле потенциально, однако практически ничем не поможет выяснить изначально вопрос о том, потенциально ли поле. Ведь кривых, соединяющих две точки А,В бесконечно много, и невозможно вычислить интегралы по всем этим кривым. Поэтому для проверки потенциальности необходим другой критерий.

Теорема 2. Векторное поле потенциально симметрична производная матрица.

(в 2-мерном пространстве , в 3-мерном ).

Доказательство.

1) Необходимость. Пусть поле потенциально. Тогда являются производными от какой-то общей функции , т.е. , . тогда , . Но смешанные частные производные 2-го порядка совпадают, значит, = .

а следовательно, = .

2) Достаточность. Здесь мы будем использовать формулу Грина, которую доказали ранее. Если производная матрица симметрична, то (в других обозначениях = ). Тогда , и двойной интеграл по любой плоской области равен 0: . Но ведь тогда для любого замкнутого контура получается, что по формуле Грина, если двойной интеграл по его внутренней области 0, то и циркуляция по границе тоже 0:

= 0,

а если для любого контура циркуляция 0, то согласно следствию из теоремы 1, поле потенциально.

В 3-мерном случае требуется совпадение трёх пар производных, что приводит к тому, что ротор равен 0. Далее доказательство аналогично, только вместо формулы грина используется формула Стокса:

Если ротор равен 0, то интеграл в правой части равенства 0, тогда циркуляция равна 0, а тогда поле потенциально.

Алгоритм нахождения потенциала.

1. Выяснить потенциальность поля, проверив симметричность производной матрицы (она сотоит из всех частных производных: от всех компонент векторного поля по всем переменным).

2. Найти потенциал, как скалярную функцию, равную криволинейному интегралу от фиксированной точки до произвольной.

Как правило, в качестве «начальной» фиксированной точки рассматривают начало координат, если же в функциях присутствуют к примеру или , то можно взять в качестве начальной точку (1,1) а не (0,0).

Путь от начальной точки до может быть по любой кривой, но практически лучше по ломаной, состоящей из отрезков, параллельных осям координат. Сначала от (0,0) к (x,0) а затем 2-е звено до точки (x,y).

Пример.Доказать, что поле потенциально и найти потенциал.

Решение. Шаг 1.Сначала найдём производную матрицу, вычислив все частные производные по всем переменным:

= . Мы видим, что она симметрична. Значит, поле потенциально.

Шаг 2.Найдём криволинейный интеграл от (0,0) до , соединив с помощью ломаной. Лучше всего даже обозначить конечную точку , чтобы не путать обозначение переменной, по которой ведётся интегрирование, и верхнего предела. Вычислив , затем мы учтём тот факт, что эта точка была произвольной, и сможем записать уже просто .

разбивается на сумму двух интегралов, по каждому участку ломаной, причём на каждом из них обнуляется один из двух дифференциалов: на горизонтальном отрезке меняется только , а тогда , на вертикальном меняется , тогда .

=

в обоих интегралах формально присутствуют оба слагаемых, но одно из них обнуляется, поэтому выглядит далее так, как будто распределилось по одному слагаемому в каждый интеграл.

в первом фиксировано , а на втором участке переменная уже достигла и далее не меняется, поэтому там .

Для данного конкретного примера получается

= = = .

Итак, , тогда можно сказать, что .

Проверка. , .

Пример. Доказать, что поле потенциально и найти потенциал.

Решение.

Сначала найдём матрицу из всех 9 частных производных.

= . Матрица симметрична, это в то же самое время означает, что ротор равен 0. Поле потенциально.

Вычислим криволинейный интеграл по ломаной,соединяющей точки и .

= = = = .

Тогда = .

Проверка:

= , = , = .