Аналитический расчет нагревания тяговых двигателей.

Современные ТД представляют собой очень сложные конструкции, состоящие из большого числа частей сложной геометрической формы. Все эти части изготовлены из различных материалов, имеют разную массу, разные условия теплопередачи. В различных частях ТД выделяется неодинаковое количество тепла. Вследствие сложности тепловых процессов в ТД точный аналитический расчет его нагревания крайне затруднителен. Поэтому для моделирования нагревания ТД прибегают к упрощениям. Наиболее распространенный способ, дающий удовлетворительные результаты, основан на представлении ТД однородным твердым телом.

Нагревание любой обмотки ТД определяется, в основном, электрическими потерями в ней I²×r и магнитными потерями в прилегающих к обмотке стальных частях DР_с. Потери в стали определяют по опытным кривым. С достаточной точностью потери энергии на нагрев обмотки можно описать следующим уравнением:

,

где r₀ – сопротивление обмотки при температуре окружающего воздуха;

a₀ – температурный коэффициент;

t – текущий перегрев обмотки (превышение температуры обмотки над температурой окружающей среды);

k_с – опытный поправочный коэффициент потерь в стали.

Рассмотрим процесс нагревания обмотки ТД, приняв ее за однородное твердое тело с приведенными тепловыми параметрами:

– теплоемкостью С_r;

– теплоотдачей В_r;

– потерями мощности DР_r.

Допустим, что в течение времени dt в обмотке выделится количество тепла DР_rdt. Часть этого тепла вызывает превышение температуры обмотки на dt, остальная выделяется в окружающую среду. С учетом этого уравнение теплового баланса имеет вид:

DР_rdt = С_rdt + В_r×tdt.

Подставив в это уравнение выражение для потерь в обмотке, полученное ранее, получим:

I²×r₀dt + I²×r₀×a₀×tdt +k_c×DР_cdt = С_rdt + В_r×tdt.

Преобразуем выражение:

(I²×r₀ + k_c×DР_c)dt = С_rdt + (В_r – I²×r₀×a₀)×tdt.

Введем следующие обозначения:

- эквивалентные потери мощности DР_э = I²×r₀ + k_c×DР_c;

- эквивалентная теплоотдача В_э = В_r – I²×r₀×a₀.

Выражение примет вид:

DР_эdt = С_rdt + В_э×tdt.

Разделим выражение на В_э и обозначим отношение как эквивалентную постоянную времени:

.

Отношение представляет собой перегрев обмотки при t ® ¥ (установившийся перегрев t_¥). Выражение примет вид

Т_эdt = (t_¥ – t)dt.

Проинтегрировав это выражение, получим уравнение для перегрева обмотки:

;

;

;

(dt = d(t_¥ – t)×(–1), т.к. производная от константы равна 0)

(табличный интеграл);

;

;

;

;

.

При t ® ¥ . Следовательно t ® t_¥ (DР_э = В_э×t_¥) – все выделяемое в обмотке тепло рассеивается в окружающую среду. Наступает тепловое равновесие. Т.е. первое слагаемое уравнения характеризует нагрев обмотки.

При выключении ТД I = 0 Þ DР_э = 0 Þ t_¥ = 0 Þ В_э = В_r Þ

.

Т.е. второе слагаемое уравнения характеризует собой кривую остывания обмотки. И процесс нагрева и процесс остывания описывается экспоненциальным законом.

Из приведенных выше формул следует, что величина t_¥ и Т_э зависят от величины тока, с которым работает ТД, поэтому для расчета перегрева ТД требуются две зависимости: t_¥ = ¦(I) и Т_э = ¦(I).

Проанализируем, как повлияют параметры ТД на процесс нагрева. Величина теплоотдачи при неизменных потерях мощности и теплоемкости (DР_э = const; C_r = const) влияет на величину установившегося перегрева в обратной зависимости – чем больше теплоотдача, тем меньше установившийся перегрев. Увеличение теплоотдачи может быть вызвано, например, применением системы принудительной вентиляции ТЭД.

Кроме теплоотдачи на процесс нагревания влияет теплоемкость материала обмотки и стали. При неизменных потерях и теплоотдаче (DР_э = const; В_э = const) при увеличении теплоемкости замедляется процесс достижения установившегося перегрева, но не изменяется сама его величина – увеличивается постоянная времени, характеризующая процесс нагрева.

Итак, мы получили аналитическое выражение для расчета перегрева обмотки ТД. К сожалению в это выражение входят величины, которые чрезвычайно сложно определить аналитически (это установившийся перегрев t_¥, постоянные времени нагревания Т_э и остывания Т_r). Эти величины, как правило, определяются на основании опытных данных нагревания или остывания ТД.

Наиболее простой способ определения постоянной времени – это проведение касательной линии в начале координат к опытной линии нагревания ТД. Аналогичным образом можно поступить и с кривой остывания.

В том случае, когда известна только часть характеристик нагревания и остывания выбирают два равных интервала t_и находят величины перегрева, соответствующие выбранным моментам времени:

;

.

Учитывая, что t₀₁ = t_1н и t₀₂ = t_2н, можно записать:

.

Прологарифмировав полученное выражение по основанию е, получим

.

Отсюда

.

Для определения постоянной времени остывания ТД без тока достаточно одного интервала времени:

;

;

.