Геометрические фракталы

Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется «затравка» – аксиома – набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой «затравке» применяют набор правил, который преобразует ее в какую–либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем бесконечное количество преобразований – получим геометрический фрактал.

Рассмотренная ранее кривая Пеано является геометрическим фракталом. На рис. ниже приведены другие примеры геометрических фракталов (слева направо Снежинка Коха, Лист, Треугольник Серпинского).

Рис. Снежинка Коха

Рис. Лист

Рис. Треугольник Серпинского

Из этих геометрических фракталов очень интересным и довольно знаменитым является – снежинка Коха. Строится она на основе равностороннего треугольника. Каждая линия которого заменяется на 4 линии каждая длинной в 1/3 исходной. Таким образом, с каждой итерацией длинна кривой увеличивается на треть. И если мы сделаем бесконечное число итераций – получим фрактал – снежинку Коха бесконечной длинны. Получается, что наша бесконечная кривая покрывает ограниченную площадь.

Размерность снежинки Коха (при увеличении снежинки в 3 раза ее длина возрастает в 4 раза) D=log(4)/log(3)=1.2619...

Для построения геометрических фракталов хорошо приспособлены так называемые L–Systems. Суть этих систем состоит в том, что имеется определенных набор символов системы, каждый из которых обозначает определенное действие и набор правил преобразования символов.