Що закріплений з зазором

Рисунок 1.6 – Діаграма деформування стержня,

Приклад 1.3 Побудувати діаграму деформування пружно закріпленого стержня (рисунок 1.7) при дії термічного циклу "нагрівання-охолодження". Довжина стержня – l, площа поперечного перерізу А, модуль пружності матеріалу Е , податливість опори δ₂ ( ).

Рисунок 1.7 – Схема стержня, закріпленого пружно

На початковому стані нагрівання (ОА) (рисунок 1.8) деформації задовольняють умові:

, (1.15)

де R - реакції опор,

δ - податливість стержня

.

Реакції опар з рівняння (1.15):

. (1.16)

Напруження у поперечних перерізах стержня і поздовжні деформації:

, . (1.17)

Наявність пружної опори призводить до зменшення кута φ нахилу до початкової ділянки діаграми, до осі ε і збільшен­ня температури, при якій починаються пластичні деформації (Т_S)

, . (1.18)

При температурі вищій Т_S розвиваються пластичні дефор­мації, а напруження, у відповідності з прийнятою моделлю пружно-пластичного матеріалу, залишаються незмінними (σ =σ_Т).

Переміщення торця стержня на етапі зростання температури:

. (1.19)

Рисунок 1.8 – Діаграма деформування стержня, що закріплений з зазором

При зниженні температури зменшуються пружні деформації і напруження стиску, і розвиваються пружні де­формації і, відповідні їм, напруження розтягу (пряма ВСД). При нагріванні стержня до температури Т>Т_В матимуть місце вторинні пластичні деформації розтягу.

Після завершення термічного циклу, у поперечних перері­зах стержня будуть діяти напруження розтягу ( σ σ_Т), а торець переміститься на величину Δ (рисунок 1.9).

Рисунок 1.9 – Схема утворення деформацій у стержні,

що закріплений пружно

Умова сумісності переміщень після зниження темпера­тури до початкової:

. (1.20)

Звідси знаходимо реакції у закріпленні:

. (1.21)

Пружна деформація стержня:

. (1.22)

Якщо припустити, що температура при нагріванні дорівнювала або перевищувала температуру Т_в, пружна деформація досягне максимального значення ε_пр = ε_s і скорочення стержня Δ визначатиметься формулою:

. (1.23)

Приклад 1.4 Побудувати діаграму деформування стержня 1, розміщеного у трубі 2, при дії термічного циклу "нагрівання-охолодження" на стержень. Податливості елементів, відповідно, δ₁ і δ₂ (рисунок 1.10) .

Рисунок 1.10 – Схема стержня, розміщеного у трубі

Система є статично-невизначеною і для знаходження реакцій R₁ і R₂ необхідно використати, крім рівняння рівноваги, рівняння сумісності переміщень:

, (1.24)

де δ₁ і δ₂ -переміщення, відповідно, торців стержня і труби.

Переміщення δ₂ обумовлене дією сили R₂, а переміщення δ₁ – дією сили R₁ і температури Т.

, , (1.25)

(Знак "мінус" у першому доданку враховує напрямок сили R₁).

Податливості елементів визначаються формулами:

, , (1.26)

де А₁ , А₂ – площі поперечного перерізу;

Е₁ , Е₂ – модулі пружності матеріалів.

Розв’язуючи систему рівнянь (1.24), одержимо значення реакцій:

. (1.27)

(Напрямки реакцій вказані на рисунку 1.10).

Напруження у середньому стержні (при σ₁ ≤ σ_Т ):

. (1.28)

Як видно з (1.28), при великій жорсткості трубчатого елемента (δ₂→0), напруження у стержні 1 такі ж, як і при жорсткому закріпленні (σ₁=-αТЕ); при малій (δ₂→∞), напруження зменшуються до нульових.

Діаграма деформування повністю аналогічна діаграмі для пружно закріпленого стержня (приклад 1.3) при відносно великій жорсткості трубчатого елемента, тобто тоді, коли у ньому напруження при нагріванні і охолодженні не досягають до границі текучості.