Коммутационные функции

Для сокращения записи страховых аннуитетов и упрощения расчетов применяют так называемые коммутационные функции или коммутационные числа. Смысл этих чисел трудно, хотя и возможно, содержательно интерпретировать. Их проще воспринимать как чисто технические, вспомогательные средства.

Стандартные коммутационные функции делятся на две группы. В основу первых положены числа доживающих до определенного возраста, вторых – числа умерших. Основными в первой группе являются функции D_x и N_x:

D_x=l_xv^x, N_x=

где v – дисконтный множитель по сложной ставке i , w - предельный возраст, учитываемый в таблице смертности.

По определению N_x=N_x+1+D_x, N_W=D_w.

В некоторых актуарных расчетах необходимы суммы коммутационных чисел D_x для заданных возрастных интервалов. В этих случаях можно воспользоваться коммутационными числами N_x:

D_x+t=N_n+1 – N_x+k+1

На практике применяются еще два варианта функции N_x, к которым обращаются тогда, когда платежи производятся m раз в году. Так, для платежей постнумерандо с достаточной для практических расчетов точностью применим следующее выражение:

N_x^(m)»N_x+(m-1)/2m*D_x.

Для платежей пренумерандо

N_x^(m)»N_x+(m-1)/2m*D_x.

Наиболее важными коммутационными функциями второй группы являются C_x

и M_x: C_x=d_xv^x+1, M_x= C_j

Между коммутационными числами обеих групп существуют определенные взаимозависимости:

C_x=d_xv^x+1=(l_x-l_x+1)v^x+1=l_xv^xv – l_x+1v^x+1=D_xv-D_x+1.

Аналогично можно доказать, что

M_x=N_xv – N_x+1.

Страховые организации разрабатывают таблицы коммуникационных функции с учетом принятых в них норм доходности.

Таблица 4.2 Фрагмент таблицы коммутационных чисел

При страховании супружеских пар возникает необходимость в коммутационной функции:

D_xy=l_xy*v^(x+y)/2.

Величина l_xy определена при расчете _nP_xy

Функцию D_xy=l_xy*v^(x+y)/2 можно получить на основе коммутационной функции D_x, D_y следующим образом:

D_xy=D_x*D_y*v^-(x+y)/2=D_x*D_y*(1+I)^(x+y)/2.

В свою очередь

D_xy+n=l_xy+n*v^n+(x+y)/2.

D_xy+n=D_x+n*D_y+n*v^-[n+(x+y)/2]=D_x+n*D_y+n*(1+I)^n+(x+y)/2.

Поскольку произведение коммутационных чисел имеют большую размерность, то их обычно умножают на 10^-3.

Пример: определим коммутационные числа D_50;45 и D_55;50 для супружеской пары возраст супругов 50 и 45 лет. Находим:

(x+y)/2=(50+45)/2=47,5.

Коммутационные числа при условии, что процентная ставка равна 9%, имеют следующие значения (первая строка – для мужчины, вторая – для женщины):

D₅₀=1124,8; D₅₅=673,1;

D₄₅=1991,9 D₅₀=1268,8.

Отсюда

D_50;45=10^-3*1124,8*1991,9*1,09^47,5=134 308;

D_55,50=10^-3*673,1*1268,8*1,09^5+47,5=78 770.

По аналогии с функцией N_x найдем: N_xy= D_{x+t; y+t}.

Тестовые задания

4011324. Аннуитет – это:

1. Период времени между двумя последовательными платежами;

2. Последовательность периодических платежей, сделанных через различные промежутки времени;

3. Последовательность периодических платежей, сделанных через одинаковые промежутки времени;

4 Одноразовый платёж.

4023142. Срок аннуитета – это:

1. Время от начала первого интервала платежа до начала последнего интервала платежа;

2. Время от начала первого интервала платежа до окончания последнего интервала платежа;

3. Время от окончания первого интервала платежа до начала последнего интервала платежа;

4. Нет правильного ответа.

4032314. Аннуитет называется обыкновенным, если:

1. Срок платежа осуществляется в моменты окончания интервалов платежа;

2. Срок платежа осуществляется в начальный момент интервала платежа;

3. Интервал платежа совпадает с периодом начисления процента;

4. Срок не имеет значения, все зависит от суммы платежа.

4041234. Настоящая стоимость обыкновенного аннуитета определяется как:

1. Датированная сумма эквивалентная всей серии платежей независимо от срока аннуитета;

2. Датированная сумма эквивалентная всей серии платежей на начало срока аннуитета;

3. Сумма всех платежей;

4. Сумма всех платежей без учета срока платежей.

4052314. Итоговая сумма обыкновенного аннуитета определяется как:

1. Датированная сумма эквивалентная всей серии платежей на начало срока;

2. Датированная сумма эквивалентная всей серии платежей на конец срока;

3. Сумма всех платежей;

4. Сумма всех платежей без учета срока платежей.

4063142. Аннуитет называется простым, если:

1. Срок платежа осуществляется в момент, обусловленный договором;

2. Интервал платежа совпадает с периодом начисления процента;

3. Срок платежа осуществляется в момент окончания интервала платежа;

4. Периодический платеж производится в начальный момент времени.

4073142. Аннуитет называется страховым, если:

1. Выплата ренты не зависит от наступления страхового события, а зависит лишь от времени уплаченной страховой суммы;

2. Выплата ренты зависит от наступления страхового события;

3. Выплата ренты не зависит от наступления страхового события при условии, что страхователь назвал наследника;

4. Нет правильного ответа.

4082413. Полагающий аннуитет – это:

1. Когда периодические платежи производятся в начальные моменты интервалов платежа, со сроком, начинающимся датой первого и заканчивающимся через один интервал после последнего платежа;

2. Когда периодические платежи производятся в конечные моменты интервала и заканчиваются за один интервал до даты погашения;

3. Когда интервал платежа совпадает с периодом начисления процента;

4. Нет правильного ответа.

Факторами определяющими стоимость страхового аннуитета являются: а) демографический, отражаемый в таблице смертности; б) процентная ставка (установленная норма доходности); в) длительность отсрочки выплат; г) срок аннуитета.

1. а, б, в;

2. б, в, г;

3. а, в, г;

4. а, б, в, г.

4101324. Аннуитет называется отсроченным, если:

1. Срок аннуитета не изменяется;

2. Срок аннуитета устанавливается с даты заключения сделки;

3. Срок аннуитета устанавливается с даты в будущем относительно даты заключения сделки;

4. Интервал платежа совпадает с периодом начисления процента.

4111234. Чем выше показатель смертности:

1. Тем выше страховая (актуарная) стоимость аннуитета;

2. Тем ниже страховая (актуарная) стоимость аннуитета;

3. Страховая (актуарная) стоимость аннуитета не меньше;

4. Нет правильного ответа.