Финансовая эквивалентность в страховании

В преобладающем числе областей финансовой деятельности объектами приложения методов количественного анализа являются детерминированные процессы, описываемые верными рентами. Однако в страховании и при анализе некоторых инвестиционных проектов возникает необходимость в использовании условных рент, в которых важную роль играют вероятности наступления соответствующих событий (поступлений или выплат денег). Выплата ренты в страховании зависит от наступления страхового события. Такие ренты называются страховыми аннуитетами. Заранее число платежей в страховых аннуитетах, а часто и их срок, остаются неизвестными.

Согласно договору страхования страхователь уплачивает вперед страховщику некоторую сумму – премию. В свою очередь он (или иной выгодоприобретатель) имеет право получить страховую сумму S после наступления страхового события. Если вероятность наступления этого события g, то теоретически без учета прочих факторов (в том числе и факторов времени), премии P определяется как P=Sg

На практике премия, которая поступает страховой организации, обычно повышает величину нетто-премии, так как включает помимо нетто-премии и так называемую нагрузку, которая охватывает все расходы по ведению дела и некоторую прибыль страховой организации. Определение брутто-премии (нетто-премия плюс нагрузка) является чисто арифметической задачей, поэтому будем рассматривать только нетто-премии.

Пусть P – размер премии, g_n – вероятность страхового события (например, смерть застрахованного через n лет после начала страхования). Если страховое событие произойдет на первом году страхования, то страховщик получит сумму P (пусть премия выплачивается в начале года), если же это событие наступит во втором году, то сумма премии равна 2P и так далее. Математическое ожидание такого ряда премии составит:

Pg₁+2Pg₂+…+nPg_n.

Полученная величина хотя и обобщает все взносы застрахованного с учетом вероятностей их выплат, однако при суммировании соответствующих величин не принимается во внимание, что премии выплачиваются в разные моменты времени. С учетом этого фактора (с помощью дисконтирования сумм платежей) находим математическое ожидание современной стоимости (актуарная стоимость) взносов:

E(A)=P[g₁+(1+v)g₂+(1+v+v²)g₃+…+(1+v+…+v^n-1)g_n],

где v – дисконтный множитель по ставке i.

Пусть страховая сумма выплачивается в конце года, в котором имел место страховой случай. Тогда математическое ожидание выплаты в первом году составит Sg₁, во втором году Sg₂ и так далее. Математическое ожидание с учетом фактора времени (аккуратная стоимость) выплат может быть определена как

E(S)=S(vg₁+v²g₂+…+vⁿg_n).

Исходя из принципа эквивалентности обязательств страховщика и страхователя, можно написать равенство

E(S)=E(A),

которое позволяет найти искомое значение нетто-премии P. Таков в общем виде теоретический подход к методу расчета нетто-премии, принятый в личном страховании.

Пусть теперь речь идет об имущественном страховании. Если можно полагать, что вероятность наступления страхового случая постоянны, то актуарная стоимость премии за n лет составит

E(A)=P[g+(1+v)g+…+(1+v+…+v^n-1)g]=PgK,

Где K=n+ (n-t)v^t.

В свою очередь актуарная стоимость выплат страховых сумм находится как

E(S)=Sg v^t

Из равенства актуарных стоимостей взносов и выплат находим искомый размер нетто-премии.

В практике страховых, или как часто называют, актуарных расчетов разработаны специальные приемы формирования упомянутых выше потоков платежей (страховых аннуитетов) и расчета их стоимости.

До обсуждения проблем формирования страховых аннуитетов, связанных с жизнью людей и их использования для расчетов премии и страховых резервов необходимо ознакомиться с методикой определения необходимых вероятностей и ряда вспомогательных величин, с помощью которых существенно упрощается решение соответствующих задач. Это таблицы смертности и коммутационные функции.