Коррекция погрешности линейности обработкой электрического сигнала — результата измерений

Нелинейное преобразование сигнала. Выходное напряжение моста Уитстона или потенциометрической схемы с симметрич­ным питанием является нелинейной функцией изменений сопро­тивления датчика и определяется выражением

Схема, представленная на рис. 4.6, позволяет нелинейным преобразованием напряжения vm получить напряжение vi, кото­рое является линейной функцией . Напряжение на выходе умножителя напряжений

.

Здесь Е_г— опорное напряжение. Коэффициенты усиления кана­лов умножителя равны соответственно а и b . Выходное напря­жение сумматора, осуществляющего суммирование с учетом весовых коэффициентов, равно

откуда

Подставляя выражение v_m, получим

Напряжение v_t становится линейной функцией при равен­стве единица третьего сомножителя, что достигается выбором соответствующего коэффициента b , а именно:

Другая схема нелинейного преобразования результата наме­рения представлена на рис. 4.7. Ее преимуществом является по­лучение скорректированного результата v_l , не зависящего от напряжения питания моста и, следовательно, от флуктуации

этого напряжения.

Схема содержит инвертор и аналоговый делитель, напряже­ние на выходе которого относительно напряжений Vn и Yd на его входах равно

Напряжение на выходе инвертора равно

Oбозначая через Ri сопротивление каждого из входов делителя, получнм

и

Таким образом, окончательно имеем

Коррекция результатов измерений введением поправок. Аппроксимация характеристики. Градуировочную характеристи­ку, отражающую связь величин v_m и т, можно аппроксимиро­вать многочленом n-й степени

Значения (n+1) постоянных коэффициентов a_k можно полу­чить, решая n+1 уравнений, связывающих (n+1) значений v_m и m. Такой способ нахождения значений a_k не обеспечивает наилучшего и единственного решения, поскольку оно будет за­висеть от выбора числа точек аппроксимации. Очевидно, для упрощения решения следует ограничить число членов до при­емлемого минимума, определяемого задаваемой погрешностью измерений.

Устройство линеаризации зависимости v_m(m) должно фор­мировать напряжение, пропорциональное величине m

т.е.

или, обозначая ,

Таким образом, устройство, осуществляющее линеаризацию, можно создать, сочетая умножители, формирующие значении v^k_m, и сумматоры, осуществляющие их сложение с учетом весо­вых коэффициентов.

На рис. 4.8 показано аналоговое устройство линеаризации, аппроксимирующее входную функцию (сигнал) многочленом четвертой степени.

В соответствии с теоремой Мильмана получаем следующие зави­симости членов A_k относительно проводимостей, для данной схемы:

Пример. На основании градуировочной характеристики тер­мопары хромель — константан получено соотношение, которое в диапазоне от -100 до +900°С с погрешностью не хуже 3°С отражает зависимость температуры Т (°С) на измерительном спае (температура опорного спая 0°С) от выдаваемой термопа­рой термо-э. д. с. е в мВ [11]:

Устройство аппроксимации, приведенное на рис. 4.8, форми­рует на выходе напряжение Vi, которое численно равно темпе­ратуре Т при напряжении питания E=10 В и следующих номи­налах резисторов (кОм):

R₁= 10,00; R₂ = 1,340; R₃= 77,97;

R₄ = 613,5; R₅ = 5,376; R₆ = 37,13;

R₇ = 0,6000; R = 10,00.

Если градуировочная характеристика аппроксимируется мно­гочленом степени n>2, то более целесообразно применение мно­гофункциональной схемы. Таковая реализована, например, в микросхеме AD433 (изготовитель фирма Analog Devices), ко входам которой прилагаются напряжения V_x, V_Y, V_z, а на вы­ходе формируется напряжение, пропорциональное величине Vy(Vz/Vx)ⁿ, где я регулируется выбором соотношения сопротивления (см. описание схемы на рис. 4.9).

Если функция m=/(u_m) имеет линейный участок, который заключен между нелинейными участками, то применяют схему ограниченной линеаризации.

Так, например, если для v_m>v_m1 участок характеристики ли­неен, т. е. m=a₀+_a1Vm , то напряжение v_l на выходе сумматора

Если при ,v_m>v_m1 характеристика датчика нелинейна и отклоне­ние предшествующей линейной части нарастает в соответст­вий с разностью, v_m1- v_m. то вводимые для коррекции члены дол­жны также соответствовать значениям функции v_m1- v_m , т.е.

.

Устройство линеаризации должно формировать в этом случае напряжение

,

Такое устройство должно состоять из одного или нескольких сумматоров, осуществляющих сложение с учетом весовых коэф­фициентов, пороговой схемы (напряжение V на выходе которой равно нулю для v_m>v_m1 и пропорционально разности V_m1—v_m, когда v_m<v_ml), а также множительно-делительной (многофунк­циональной) схемы, ко входу которой приложено напряжение V от пороговой схемы.

Схема такого устройства представлена на рис. 4.9. На его выходе формируется напряжение:

при

при

В функции параметров элементов устройства напряжение ,v_l выражается соотношением

При V=0 для случая v_m>v_m] имеем , , а для ,

Таким образом, условия линеаризации обеспечиваются над­лежащим выбором номиналов компонентов.

Линеаризация градуировочной характеристики разбиением ее на участки. В общем случае кривая m=f(u_m) .может быть разбита на конечное число i участков (рис..4.10, а), каждый из которых может быть аппроксимирован двучленом первой сте­пени.

При разбиении кривой на четыре участка, как показано на рис. 4.10, а, справедливы соотношения

Каждый раз, когда текущее значение v_m переходит границу того или иного участка, значение напряжения vi=Am изменя­ется соответственно наклону данного участка кривой. Это осу­ществляется с помощью сумматоров, пороги которых соответ­ствуют различным границам v_mi, и каждый из которых выдает напряжение V_i равное нулю или пропорциональное v_mi —v_m в зависимости от того, превосходит или нет значение v_m порог сумматора.

На рис. 4.10, б представлено аппроксимирующее устройство, позволяющее осуществить линеаризацию функции, разбитой на четыре участка (см. рис. 4.10, а). Выходное напряжение устрой­ства имеет форму

для

Где и

Если границы участков задать в соответствии со значениями

то напряжение v_l, на выходе устройства будет равно

Значения Vi в различных случаях составят:

при

Требуемые номиналы элементов схемы определяются из следую­щих соотношений:

Цифровые методы линеаризации. Их использование, очевид­но, требует, чтобы измеряемое напряжение v_m было предвари­тельно преобразовано в цифровую форму.

Цифровая система обработки данных (например микро-ЭВМ) позволяет осуществить линеаризацию градуировочной характеристики по программе с приемлемой быстротой. Харак­теристику v_i = f(v_m) разбивают на определенное число участков (рис. 4.11), и абсциссы их границ записывают в память машины. Измеряемое напряжение v_m сравнивается с этим набором абсцисс: v_mi<v_m<v_mi+1. Когда определяется таким образом номер i участка, запускается программа для расчета vl по алгоритму.

Постоянные коэффициенты определяющие наклон прямых каждого из уча­стков, должны также хранить­ся в памяти. При такой после­довательной обработке данных необходимо учитывать время проведения операций, позволяющее получать результаты с тре­буемой быстротой.