Декартово произведение множеств

Декартовым произведением множеств А и В называют множество всех пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, вторая - множеству В.

А × В = {(x; y) | x∈A и y∈B}

пример: Проверить справедливость равенства А×С=(А× (С \ В)) È

È (А× (С Ç В)), если А={1,2}, В={2,3}, С={1,3}.

решение:

1) А×С = {1,2}×{1,3}={(1,1);(1,3);(2,1);(2,3)}.

2) С \ В = {1,3}\{2,3}={1};

3) А× (С \ В) = {1,2}×{1}={(1,1);(2,1)};

4) С Ç В = {1,3}Ç{2,3}={3};

5) А× (С Ç В) = {1,2}×{3}={(1,3);(2,3)};

6) 3È5 = {(1,1);(2,1)} È {(1,3);(2,3)}={(1,1);(1,3);(2,1);(2,3)}.

Равенство справедливо.

Наглядно представить декартово произведение можно с помощью графа или таблицы (в случае, если множества конечны и содержат небольшое число элементов), а также координатной плоскости.

пример: А={1,3,5} и В={5,8} найти А×В

с помощью графа:

табличный способ:

на координатной плоскости:

у

8 * * *

5 * * *

0 1 3 5 х

Так как нам надо найти А×В, то элементы множества А отметим на оси Ох, а элементы множества В на оси Оу. Звездочками обозначены координаты декартова произведения.

Представление декартова произведения множеств с помощью координатной плоскости целесообразно использовать в случаях, когда хотя бы одно из множеств является бесконечным.