Точечные оценки параметров распределения случайных величин и отклонений.

Точечная оценка вероятностной характеристики выражается одним числом. Любая точечная оценка, вычисленная на основе опытных данных, является случайной величиной. Функция её распределения зависит от распределения случайной величины и числа опытов n.

Основными точечными характеристиками погрешностей измерений являются математическое ожидание и дисперсия (или среднее квадратическое отклонение).

Математическое ожидание погрешности измерений М(Х) есть неслучайная величина, относительно которой рассеиваются другие значения погрешностей при повторных измерениях. Как числовая характеристика погрешности М(Х) показывает на смещенность результатов измерения относительно истинного значения измеряемой величины.

Дисперсия погрешности D (Х) характеризует степень рассеивания (разброса) отдельных значений погрешности относительно математического ожидания

Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс, тем точнее выполнены измерения. Следовательно, дисперсия может служить характеристикой точности проведенных измерений. Однако дисперсия выражается в единицах погрешности в квадрате. Поэтому в качестве числовой характеристики точности измерений используют среднее квадратическое отклонение

Оценку параметра назовем точечной, если она выражается одним числом. Любая точечная оценка, вычисленная на основании опытных данных, является их функцией и поэтому сама должна представлять собой случайную величину с распределением, зависящим от распределения исходной случайной величины, от самого оцениваемого параметра и от числа опытов n.

К точечным оценкам предъявляется ряд требований, определяющих их пригодность для описания самих параметров.

1. Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа наблюдений она приближается (сходится по вероятности) к значению оцениваемого параметра.

2. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру.

3. Оценка называется эффективной, если ее дисперсия меньше дисперсии любой другой оценки данного параметра.

На практике не всегда удается удовлетворить одновременно все эти требования, однако выбору оценки должен предшествовать ее критический анализ со всех перечисленных выше точек зрения.

Существует несколько методов определения оценок. Наиболее распространен метод максимального правдоподобия, теоретически обоснованный математиком Р.Фишером. Идея метода заключается в следующем. Вся получаемая в результате многократных наблюдений информация об истинном значении измеряемой величины и рассеивании результатов сосредоточена в ряде наблюдений Х1, Х2, . . . , Хn, где n - число наблюдений. Их можно рассматривать как n независимых случайных величин с одной и той же дифференциальной функцией распределения. Вероятность получения равная соответствующему элементу вероятности.

Независимость результатов наблюдений позволяет найти априорную вероятность появления одновременно всех экспериментальных данных, т. е. всего ряда наблюдений Х1, Х2, . . . , Хn как произведение этих вероятностей

Наряду с методом максимального правдоподобия при определении точечных оценок широко используется метод наименьших квадратов. В соответствии с этим методом среди некоторого класса оценок выбирают ту, которая обладает наименьшей дисперсией, т. е. наиболее эффективную оценку.

Нормальный закон распределения Гаусса.

Какое же именно положение в пределах поля допуска они занимают, можно ли это узнать? Оказывается можно. Представим себе, что мы изготовили некоторое множество деталей с одним номинальным размером и с одним допуском.

N – общее число деталей, Td = dmax – dmin – разброс между максимальным и минимальным результатами измерений. Средний или номинальный размер, заданный чертежом – dном = x₀.

Разобьём допуск Td на k небольших и равных между собой интервалов. Получится, что в интервалах близких к середине поля допуска окажется больше деталей, а в интервалах, близких к dmax либо к dmin – меньше. На основании этих данных можно построить ступенчатый график, который называется гистограммой. В каждом i-м интервале получилось n_i деталей.

Здесь N называется выборкой по генеральной совокупности. Генеральная совокупность получается, если перейти к пределу при n → ∞ или D → 0, то есть

Чем больше число деталей в интервале, тем быстрее рост ступенчатой суммарной функции. Затем этот рост замедляется, так как при увеличении диаметра число деталей в интервале уменьшается. Как видно из графика, приращение высоты ступеньки замедляется.

- по этой формуле может быть вычислена средняя величина диаметра, а математическое ожидание при переходе к пределу:

При переходе к пределу ступенчатые графики превращаются в плавные кривые.

График плотности вероятности φ(x) означает вероятность попадания величины x в заданный бесконечно малый интервал Dx.

График функции распределения F(x) означает, что вероятность появления размера в пределах от d_min до d_max равна 1, а вероятность изготовления (или появления при переборе уже изготовленных деталей) размера x < d_ном равна 0.5.

Суммарный график может быть описан формулой:

Эта функция называется функцией нормального распределения или интегралом Лапласа. Здесь σ² дисперсия по генеральной совокупности, а среднее квадратическое отклонение случайной величины. Дисперсия по генеральной совокупности определяется по формуле:

Среднее квадратичное отклонение (СКО) – определено выше, в предыдущей лекции. При дифференцировании функции нормального распределения Лапласа F(x) получаем закон распределения вероятностей Гаусса:

Этими выражениями в таком виде пользоваться неудобно, поэтому их нормируют на величину:

Тогда интеграл Лапласа F(z) и функция φ(z) – плотность вероятности нормированного нормального распределения будут соответственно иметь вид:

Здесь F(z) – нормированная функция Лапласа, а φ(z) плотность вероятности нормированного распределения.

Расчёты показывают, что интеграл Лапласа приблизительно равен 1 в пределах ±3σ. Эта зависимость называется “правило 3σ”. Если подсчитать по этим формулам вероятность нахождения размеров в этом интервале, то получится, что эта вероятность в зависимости от заданных пределов следующая:

d_ном ± σ p ≈ 0.68

d_ном ± 2σ p ≈ 0.95

d_ном ± 3σ p ≈ 0.997

При измерениях необходимо так планировать количество опытов (измерений), чтобы оно не было слишком мало – для получения надёжного результата, но и не слишком велико, иначе увеличится время эксперимента. Заниженное число экспериментальных точек не позволит правильно оценить точность метода или средства измерения.

По результатам выборки и её объёму можно установить границы, внутри которых с определённой заданной вероятностью будут находиться значения дисперсии, СКО и d_ном – эти границы определяют доверительный интервал.

Соответствующую этому интервалу вероятность называют надёжностью или доверительной вероятностью. Это значит, что при определении доверительных границ интервала ± 3σ, вероятность нахождения измерения в этих границах равна p ≈ 0.997.

Интервал ± 3σ можно рассматривать как допуск, то есть Td = ± 3σ или как границы, в которые попадают погрешности измерений в зависимости от решаемой задачи: 1) изготовление детали, 2) измерение детали инструментом, погрешность которого известна.