Концентрация носителей заряда.

Концентрация свободных носителей заряда сильно зависит от структуры энергетических зон материала. Она принципиально отлична для металлов и полупроводников (рис.1).

Полупроводники

В собственном полупроводнике при температуре абсолютного нуля отсутствуют свободные носители заряда, т.к. валентная зона полностью занята электронами, а зона проводимости пуста. При температурах выше абсолютного нуля некоторые электроны валентной зоны могут быть переброшены в зону проводимости, т.е. имеет место тепловая генерация пар носителей заряда – в зоне проводимости появляются электроны, а в валентной зоне - дырки. Кроме тепловой генерации носителей заряда в полупроводнике существует и их рекомбинация, т.е. возвращение электронов из зоны проводимости в валентную зону, в результате чего исчезает пара носителей заряда. В равновесии эти процессы при любой температуре взаимно уравновешиваются.

а б в г

Рис.1. Структура энергетических зон а) беспримесного (собственного) полупроводника, б) полупроводника с донорной примесью, в) полупроводника с акцепторной примесью, г) металла. Нижняя зона - заполненная валентная зона, верхняя зона - пустая зона проводимости. E_F - уровень Ферми.

Большинство полупроводников при комнатной температуре и выше являются невырожденными, т.е. распределение электронов по энергиям подчиняется статистике Максвелла-Больцмана. Это распределение зависит также от плотности энергетических уровней в зоне, т.е. от числа состояний, приходящихся на единичный интервал энергии в единице объёма. Поэтому собственные концентрации электронов и дырок равны

,

где эффективные плотности энергетических уровней в запрещенной зоне N_c и валентной зоне N_v зависят от эффективных масс электронов и дырок :

и

Двойка учитывает наличие двух электронов с противоположно направленными спинами на каждом энергетическом уровне. В собственном полупроводнике n_i=p_i и уровень Ферми расположен приблизительно посередине запрещенной зоны: . Приняв E_v за начало отсчета энергии, получим

и .

Электроны в зоне проводимости и дырки в валентной зоне могут появляться также за счет ионизации примесей - доноров и акцепторов соответственно. Концентрации примесных носителей заряда в n- и р-полупроводниках равны

и

соответственно. Здесь ΔE_A и ΔE_D - энергии активации акцепторов и доноров соответственно.

Общий вид зависимости концентрации носителей заряда полупроводника от обратной температуры представлен на рис.2.

Рис. 2. Зависимость концентрации свободных носителей заряда в полупроводнике от обратной температуры.

В области низких температур (область I) с увеличением температуры и, следовательно, с увеличением энергии теплового движения концентрация свободных носителей заряда растет за счет ионизации примесей. Угол наклона участка I характеризует энергию ионизации примеси. В этом температурном диапазоне уровень Ферми находится между примесными уровнями и краем соответствующей зоны и с ростом температуры плавно смещается от края разрешенной зоны вглубь запрещенной зоны при повышении температуры.

При некоторой температуре (температура Т₁) вероятность заполнения примесных уровней становится равной 50% и уровень Ферми совпадает по энергии с примесным уровнем. При дальнейшем увеличении температуры (участок II) концентрация носителей заряда не увеличивается, так как все примеси уже ионизированы, а вероятность ионизации собственных атомов ещё ничтожно мала.

При относительно больших температурах (участок III) концентрация свободных носителей заряда растет с увеличением температуры вследствие перехода электронов через запрещенную зону и рождения пары носителей электрон-дырка. Наклон этого участка кривой характеризует ширину запрещенной зоны полупроводника. Уровень Ферми при этих температурах расположен вблизи середины запрещенной зоны. Температура Т₂ при которой наступает собственная проводимость тем ниже, чем меньше ширина запрещенной зоны полупроводника.

Металлы

В отличие от полупроводников в металлах свободные электроны остаются вырожденными и вероятность заполнения энергетических состояний электронами определяется функцией Ферми:

,

где E – энергия уровня, вероятность заполнения которого определяется; E_F- энергия Ферми. Величина E_F определяет максимальное значение энергии, которую может иметь электрон в металле при температуре абсолютного нуля. Следует отметить, что E_F не зависит от объема кристалла, а определяется только концентрацией свободных электронов, что непосредственно вытекает из принципа Паули. Поскольку концентрация свободных электронов в металле весьма велика, энергия Ферми также оказывается высокой и в типичных случаях составляет 3 – 15 эВ.

При нагревании кристалла ему сообщается тепловая энергия порядка kT. За счет этого возбуждения некоторые электроны, находящиеся вблизи уровня Ферми, переходят в состояния с более высокой энергией. Однако дополнительная энергия, получаемая электронами за счет теплового движения, очень незначительна по сравнению с E_F и составляет всего несколько сотых долей электрон вольта. Поэтому характер распределения электронов по энергиям также изменяется очень незначительно: средняя энергия электронов практически остается без изменения.

Электронный газ в металле остается вырожденным до тех пор, пока любой из электронов не сможет обмениваться энергией с кристаллической решеткой, а это, в свою очередь, возможно лишь тогда, когда средняя энергия тепловых колебаний станет близкой к энергии Ферми. Для металлов температура снятия вырождения по порядку величины составляет 10⁴ К, т.е. превышает не только температуру плавления, но и температуру испарения металлов.

Вследствие вырождения в процессе электропроводности могут принимать участие не все свободные электроны, а только небольшая часть их, имеющая энергию, близкую к энергии Ферми. Только эти электроны способны изменять свои состояния под действием поля.

Если считать, что каждый атом в металле поставляет один свободный электрон, то концентрация свободных электронов равна концентрации атомов и может быть рассчитана по формуле

, (1)

где d – плотность металла; А – атомная масса; N₀– число Авогадро.

Подвижность

На величину подвижности носителей заряда в основном влияют два физических фактора: рассеяние носителей заряда на тепловых колебаниях решетки (фононах) и на структурных дефектах (ионы примесей, вакансии дислокации и т.п.).

Рис.3. Температурная зависимость подвижности носителей заряда.

При низких температурах преобладает рассеяние на ионах примесей. Время пребывания носителей вблизи иона примеси возрастает с понижением температуры, т.к. скорость хаотического движения уменьшается, увеличивается длительность пребывания носителя вблизи иона и время воздействия электрического поля иона на носитель заряда. Поэтому с уменьшением температуры подвижность носителей заряда уменьшается: μ ~ T^3/2. При высоких температурах преобладает рассеяние на фононах. Поэтому с увеличением температуры подвижность носителей уменьшается μ ~ T^-3/2.