Двухфазные течения при наличии фазовых потоков. Вязкостно-инерционные течения газов и газоконденсата через пористую среду

Основные представления теории двухфазного течения в пористых средах.

Распределение фаз в поровом пространстве. Капиллярное давление

Формирование залежей происходит путем оттеснения из пластов-коллекторов первоначально находившейся там воды. Поэтому вместе с нефтью и газом в коллекторах всегда содержится некоторое количество (обычно 10—30 %, иногда до 70 % порового объема) так называемой погребенной воды. Кроме того, многие продуктивные пласты заполнены нефтью и газом лишь в верхней, купольной зоне, а нижележащие зоны заполнены краевой водой. Самые верхние части нефтяных залежей содержат газ, образующий так называемые газовые шапки.

Таким образом, даже в ненарушенном состоянии в природных пластах может находиться несколько отдельных подвижных фаз. Двух- или трехфазное течение возникает практически во всех случаях разработки нефтяных месторождений, поскольку движущие нефть силы возникают вследствие упругости или гидравлического напора газа или воды.

Рассмотрим наиболее простое двухфазное течение, соответствующее вытеснению жидкости, первоначально заполнявшей поры, другой жидкостью, не смешивающейся с первой и образующей отдельную фазу. Более конкретно, речь идет о вытеснении нефти из пласта водой или газом.

Введем основные характеристики многофазного течения — насыщенность и скорость фильтрации. Доля объема пор в элементарном макрообъеме, охватывающем данную произвольную точку, занятого i-й фазой, называется насыщенностью порового пространства этой фазой в данной точке и обозначается s_i. Очевидно, , где п — число отдельных фаз. Таким образом, в системе п фаз имеется п — 1 независимая насыщенность. В частности, при исследовании фильтрации двухфазной жидкости достаточно рассматривать лишь одну насыщенность.

Движение каждой из фаз можно охарактеризовать вектором скорости фильтрации данной фазы .Аналогично скорости фильтрации однофазной жидкости , определяется как вектор, проекция которого на некоторое направление равна объемному потоку i-й фазы через единичную площадку, перпендикулярную к данному направлению. Следует помнить, что эта площадка пересекает как твердую фазу, так и другие подвижные фазы. Граница двух фаз в пористой среде разбивается на множество искривленных участков, радиус кривизны которых сопоставим с размером пор. Как известно, на межфазной границе возникает капиллярный скачок давления, определяемый по формуле Лапласа

,

где α — межфазное натяжение; R₁ и R₂ - главные радиусы кривизны поверхности раздела фаз в данной точке, близкие размерам пор.

Характерный размер поровых каналов имеет порядок , т. е. при обычной для песчаников проницаемости (10^{-13 м2}) он составляет 5-10 мкм. Межфазное натяжение на границе большинства углеводородных жидкостей и газов с водой находится в пределах 0,03—0,05 Н/м. Это означает, что капиллярное давление на границе углеводородов с водой составляет ~10 кПа. Вследствие хаотической искривленности межфазной границы в порах при двухфазном течении возможно образование изолированных частиц каждой фазы. Представим себе изолированную каплю одной из фаз размером порядка характерного размера пор, окруженную другой фазой и твердым скелетом. При продвижении этой капли в порах радиус кривизны ее поверхности должен изменяться от минимального до максимального радиуса пор, т. е. примерно на . Тот же порядок будет иметь и разность радиусов кривизны переднего и заднего фронта капли при движении. Это означает, что для проталкивания капли через пористую среду перепад давления на ней должен составлять величину, близкую к капиллярному давлению. Если и длина капли имеет порядок размера пор r, то для ее перемещения потребуется приложить градиент давления р_с/r, т. е. порядка десятков и сотен МПа/м, что намного превышает существующие и возможные градиенты давления, возникающие в результате практически всех естественных и искусственных процессов. Отсюда следует, что подвижна почти всегда только связная часть каждой из фаз, насыщающих поровое пространство.

Таким образом, капиллярные силы способны создать в пористой среде градиенты давления, намного превышающие градиенты, создаваемые внешними воздействиями. Поэтому именно капиллярные силы полностью определяют распределение фаз в порах. Капиллярное давление пропорциональное кривизне межфазной границы, зависит от структуры порового пространства и от преимущественной смачиваемости скелета пористой среды каждой из фаз.

Для каждой фазы, имеющей связную часть, можно ввести фазовое давление в точке р*, понимаемое как осредненное по элементарному макрообъему давление в связной части фазы. То, что в отдельных изолированных каплях давление может значительно отличаться от среднего, никак не будет сказываться на движении.

Долю объема порового пространства в окрестности данной точки, занятую связной частью фазы, в дальнейшем будем называть активной насыщенностью, долю несвязной части - пассивной насыщенностью.

На распределение фаз в порах, кроме поверхностного натяжения, значительное влияние оказывают преимущественная смачиваемость скелета породы одной из фаз и угол смачивания. Давление в менее смачивающей среду фазе будет выше на значение капиллярного давления.

Капиллярное равновесие в пористой среде

Прежде чем перейти к выводу уравнений фильтрации двухфазной жидкости, рассмотрим условия равновесия двух несмешивающихся жидкостей разной плотности под действием гравитационных и капиллярных сил. Гидростатическое равновесие двухфазной системы в образце пористой среды устанавливается в основном двумя путями: во-первых, вследствие впитывания более смачивающей жидкости (например, впитывание воды в сухой, т. е. насыщенный воздухом, вертикально расположенный образец пористой среды), во-вторых, путем дренирования образца, когда менее смачивающая фаза вытесняет более смачивающую. Последнее происходит, например, при вытеснении (оттеснении) воды газом сверху из первоначально водонасыщенного образца.

Рассмотрим элемент пористой среды, в котором две жидкости находятся в состоянии равновесия под действием капиллярных сил и силы тяжести. В связной части каждой из фаз введем давления p₁ и р₂(индекс 1 относится к более смачивающей фазе).

Условия равновесия для элемента длиной dz имеют вид

dp₁/dz = ρ₁g; dp₂/dz = ρ₂g; d (p₂ — p₁)/dz = (ρ₁ — ρ₂)g.

Разность давлений в фазах равна капиллярному давлению в данном сечении. Поэтому dP_к = (ρ₁ — ρ₂)gdz.

Изменение капиллярного давления с высотой происходит вследствие уменьшения или увеличения насыщенности. Более смачивающая фаза имеет тенденцию преимущественно заполнять более мелкие поры, поэтому с ростом ее насыщенности радиус кривизны границы раздела фаз должен увеличиваться. Предположим для определенности, что смачивающая фаза обладает большей плотностью, как это чаще всего бывает в условиях вытеснения нефти водой. Тогда в состоянии гидростатического равновесия водонасыщенность будет постепенно уменьшаться с высотой. В силу микронеоднородности пористой среды вода при впитывании поднимается выше, а при дренировании удерживается на более высоком уровне в системах поровых каналов малого диаметра по сравнению с каналами большего диаметра. Эта тенденция осложняется поперечными перетоками между каналами разного диаметра. В поперечном (горизонтальном) направлении равновесное распределение фаз по системам поровых каналов полностью определяется капиллярными силами. Полученное соотношение может интерпретироваться как связь капиллярного давления с насыщенностью в дифференциальной форме. Из распределения насыщенности с высотой может быть получена зависимость капиллярного давления от насыщенности s =s(z), P_к = (ρ₁ — ρ₂)gz.

Кривые P_к(s), называемые кривыми капиллярного давления, представляют собой широко употребляемую интегральную характеристику структуры и микро­неоднородности порового пространства. Вид связи P_к(s)зависит от направления изменения насыщенности, т. е. существует так называемый капиллярный гистерезис. Кривые P_к(s), соответствующие увеличению насыщенности более смачивающей фазой s, называются кривыми пропитки, а соответствующие уменьшению s — кривыми дренирования. На рисунке кривые капиллярного давления (1 – вытеснение, 2 – пропитка).

Кривые капиллярного давления, построенные по данным установления гидростатического равновесия, на практике почти не используют. Чаще всего их получают при медленном равновесном вытеснении более смачивающей фазы (воды или углеводородной жидкости) менее смачивающей (газом). Кривые капиллярного давления, отвечающие дренированию, используются для оценки распределения насыщенности в так называемых переходных зонах на границе нефть - вода, газ - вода или газ - нефть в нефтяных и газовых месторождениях до начала разработки.

Кривые капиллярного давления можно построить для различных пар жидкостей и газов, отличающихся межфазным натяжением и краевыми углами смачивания на данной породе. Чтобы получить функции насыщенности, характеризующие только структуру порового пространства, следует привести функцию капиллярного давления к безразмерному виду:

,

где θ - краевой угол смачивания. Формула получена по аналогии с выражением для капиллярного давления в одиночном цилиндрическом капилляре радиуса r: Р_к = 2αcosθ/r. В случае пористой среды в виду хаотического расположения стенок поровых каналов зависимость капиллярного давления от r не может быть выражена единой формулой. Тем не менее, по аналогии с круговым цилиндрическим капилляром Леверетт предложил записывать безразмерное выражение для капиллярного давления в виде

Данное выражение означает, что кривые капиллярного давления считаются геометрически подобными при использовании различных пар жидкостей в одной и той же пористой среде. Угол в этом случае играет роль интегральной характеристики смачиваемости в системе пористая среда - жидкость. Функцию J(s) принято называть функцией Леверетта. Эти функции для разных типов пород-коллекторов нефти и газа систематизированы, например, в работах В. А. Иванова и др.

Кривые капиллярного давления определены не для всех значений s, поскольку при дренировании образца пористой среды вытеснение более смачивающей фазы никогда не бывает полным. Остаточная часть фазы находится в виде изолированных целиков в самых мелких порах или вблизи контактов между зернами. Небольшие изолированные целики, капли или пузырьки не могут быть вытеснены другой фазой при реально существующих градиентах давления. Поэтому в процессах как дренирования, так и пропитки существует некоторая насыщенность вытесняемой фазой (так называемая неснижаемая насыщен­ность), которая не уменьшается с ростом выталкивающего перепада давления. Если насыщенность меньше неснижаемой, капиллярное давление оказывается неопределенным, поскольку остаточная фаза состоит из отдельных несвязанных между собой капель. Заметим также, что и при насыщенности больше неснижаемой часть вытесняемой фазы также находится в виде изолированных капель. Когда насыщенность более смачивающей фазой приближается к неснижаемой, капиллярное давление быстро возрастает и на экспериментальных кривых капиллярного давления часто изображается неограниченный рост Р_к при . Физически более оправдано полагать, что при , капиллярное давление и функция Леверетта стремятся к конечным величинам, определяемым радиусом кривизны капель, составляющих пассивную насыщенность остаточной смачивающей фазы.

Обобщенный закон Дарси для двухфазного течения

Теория фильтрации двухфазной жидкости во многом аналогична теории капиллярно-гравитационного равновесия. Как и в случае капиллярно-гравитационного равновесия, системы пор, занимаемые подвижной частью каждой фазы, следует представлять себе в виде каналов, протяженность которых в направлении движения намного больше, чем их размеры поперек потока. Поэтому в первом приближении можно принять, что каждая подвижная фаза течет в занимаемом ею пространстве под действием «своего» давления, т. е. так, как если бы она была ограничена только твердыми стенками. Поскольку сопротивление движению каждой фазы определяется только геометрией занимаемой ею части порового пространства, то закон фильтрации каждой из жидкостей двухфазной системы по Маскету и Леверетту можно записать в виде

,i = 1,2,…

где f_i - относительные фазовые проницаемости.

Пусть совместное течение двух фаз медленное, так что изменение насыщенности происходит квазиравновесным образом. Силы вязкого сопротивления можно рассматривать как распределенные массовые силы, пропорциональные скорости фильтрации. В одномерном случае можно получить выражение:

.

При выводе неявно предполагалось, что P_к(s) - характеристика, зависящая от структуры порового пространства и поверхностных сил взаимодействия жидкостей между собой и с твердым скелетом, но не от гравитационных (массовых) сил. Это предположение подтверждается определениями кривых капиллярного давления с использованием различных жидкостей и путем центрифугирования. По аналогии можно применить тот же вывод к распределению фаз в порах при медленной квазиравновесной совместной фильтрации, т. е. принять, что при данной насыщенности жидкости распределены так же, как и в условиях гидростатического равновесия. Это означает, во-первых, что разность давлений в фазах может быть принята равной капиллярному давлению P_к(s) и зависящей только от насыщенности:

.

Во-вторых, как уже отмечалось, капиллярные силы в поровых каналах существенно преобладают над внешним перепадом давления и определяют распределение фаз в порах. Поэтому можно допустить, что каждая из фаз движется по «своей» системе поровых каналов, ограниченных твердым скелетом и другой фазой. Таким образом, при данной насыщенности гидравлические сопротивления, а, следовательно, и проницаемость для каждой из фаз оказываются однозначно определенными.

Эксперименты показали, что в широком диапазоне условий совместного течения и вытеснения двух фаз в пористых средах относительные проницаемости не зависят от скорости фильтрации и отношения вязкостей движущихся фаз. Это можно объяснить тем, что поверхность соприкосновения (и сила взаимодействия) каждой из фаз с твердым скелетом намного больше, чем с другой фазой. В некоторых исключительных случаях взаимодействие подвижных фаз все же проявляется. Например, иногда маловязкая вытесняемая фаза кратковременно образует для высоковязкой вытесняющей жидкости на поверхности скелета слой смазки и относительная проницаемость для вытесняющей фазы возрастает до значений, больших единицы. Но такой слой смазки, по-видимому, неустойчив и существует недолго.

Типичный вид функций относительной проницаемости для более смачивающей фазы f₁(s), (s — ее насыщенность) и для менее смачивающей фазы f₂(s), показан на рисунке (F_s – функция Баклея-Леверетта, F^/_s – еёпроизводная при μ₀ = 0,5. Эти кривые получены при стационарном совместном течении воды и нефти на малых образцах песчаника.

Характерная несимметричная форма кривых относительной проницаемости объясняется тем, что при одной и той же насыщенности более смачивающая фаза занимает преимущественно мелкие поры и относительная проницаемость для нее меньше. При малых насыщенностях часть каждой из фаз находится в несвязном состоянии в виде изолированных мелких капель или целиков и не участвует в движении. Поэтому, начиная с некоторой насыщенности, каждая фаза полностью переходит в несвязное состояние и ее относительная проницаемость становится равной нулю, т. е. f₁(s) 0 при s < s , f₂(s) 0 при s > s = 1 — σ .

Хотя речь идет о совместной фильтрации двух несмешивающихся жидкостей, приходится различать вытесняющую и вытесняемую фазы, т.е. относительные проницаемости, как и кривые капиллярного давления, различны в зависимости от того, какая из фаз (более или менее смачивающая) первоначально заполняла пористую среду, т. е. существует гистерезис относительных проницаемостей, аналогичный гистерезису кривых капиллярного давления.

Неподвижные насыщенности s , и σ . совпадают с неснижаемыми насыщенностями на кривых капиллярного давления.

Итак, если распределение фаз в порах равновесно, для фильтрации двухфазной жидкости справедливы уравнения Маскета и Леверетта

,i = 1,2,…

.

Чтобы получить замкнутую систему уравнений, необходимо записать уравнения сохранения массы для обеих фаз, которые выводятся совершенно аналогично тому, как уравнение неразрывности для однофазного течения:

,

.

Поскольку ρ₁ и ρ₂ — функции давлений р₁и р₂, а изменение пористости в однородном пласте зависит только от изменения среднего давления , четыре вышеуказанных уравнения образуют замкнутую систему для p_i и s.

Если вытесняемая и вытесняющая фазы — слабо сжимаемые капельные жидкости, влиянием сжимаемости на распределение насыщенности часто можно пренебречь. Действительно, характерное время нестационарного пере­распределения давления за счет сжимаемости составляет t₁ = L²/χ, где χ - коэффициент пьезопроводности; L — характерный размер. Характерное время вытеснения t₂ = L/u, где и — средняя скорость фильтрации. Обычно скорость фильтрации равна около 10^-3 см/с, L не более 10⁴-10⁵ см, а χ 10⁴ см²/c. Поэтому t₁/t₂ = uL/χ 10^-2, откуда видно, что нестационарные процессы упругого перераспределения давления заканчиваются в начале вытеснения.

Если жидкости и пористую среду можно считать несжимаемыми, то получаем соотношения

;

Уравнения замыкают систему уравнений фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости.

Для несжимаемых жидкостей оказывается удобным определить среднее давление по формуле

где

Отсюда можно получить для суммарной скорости фильтрации обеих фаз выражение где

Данное выражение может рассматриваться как обобщение закона Дарси для суммарной скорости. Комбинируя эти соотношения с уравнениями обобщенного закона Дарси и неразрывности, можно получить систему уравнений двухфазной фильтрации, содержащую только неизвестные Р и s:

где Δ – оператор Лапласа.