Модель общего экономического равновесия Эрроу–Дебре

Общее экономическое равновесие в базовом курсе микроэкономики предполагает рассмотрение ящика Эджуорта и модели Вальраса[11].

Изучение экономики общественного сектора предполагает выход на продвинутый уровень, когда рассматривается аналитическая модель К. Эрроу и Г. Дебре общего экономического равновесия.

Данная модель была опубликована в 1954 г. в журнале Econometrica[12].

Рассмотрим основные идеи и выводы модели с возможностью оценки эффективности функционирования экономики и включения в дальнейшем государства в анализ.

Допущения модели:

• Конечное число продуктов

k = 1, …, l,

где k – вид продукта, при этом один продукт отличается от другого; l – видов продуктов в экономике.

• Пространство продуктов R^l. Продуктовое множество состоит из конечных продуктов (это положительная часть множества продуктов R^l₊) и ресурсов (входят в отрицательную часть множества пространства продуктов R^l_–).

• Экономика представляет собой совокупность экономических агентов (домашних хозяйств и фирм), которые оперируют с продуктами. Домашнее хозяйство потребляет блага, а фирма преобразует одни продукты в другие.

• Конечное число потребителей (домашних хозяйств)

i = 1, …, n.

• Потребитель имеет начальный запас продуктов (wealth). Вектор начального запаса имеет вид:

w_i = (w_i⁽¹⁾, w_i⁽²⁾, …, w_i^(l)), w_i ∈ R^l₊

• Домашнее хозяйство формирует потребительскую корзину из набора продуктов l. Вектор потребительских благ:

x_i = (x_i⁽¹⁾, x_i⁽²⁾, …, x_i^(l)), x_i ∈ R^l₊.

• Целевая функция потребителя U_i = f(x̄_i) непрерывная, дважды дифференцируема и имеет вид (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Функция полезности i-го потребителя

• Конечное число производителей (фирм) j = 1, …, m; фирмы – акционерные общества, принадлежащие домашним хозяйствам.

• У каждого производителя своя производственная функция, т. е. производственный способ преобразования одних продуктов в другие:

y_j = (y_j⁽¹⁾, y_j⁽²⁾, ..., y_j^(l));

если y_j^g > 0, то j-я фирма производит товар g;

если y_j^h = 0, то j-я фирма не производит товар (не использует ресурс) h;

если y_j^k < 0, то j-я фирма затрачивает ресурс k в производстве товара.

• Производственная функция j-го производителя принадлежит пространству производителей Y_j , которое удовлетворяет следующему условию: y_j ∈ Yj ⊆ R^l.

• Фирмы получают прибыль, которая распределяется между домашними хозяйствами в виде дивидендов. Матрица прибылей имеет вид:

θ = ||θ_ij||,

где θ_ij – доля прибыли j-й фирмы, которая принадлежит i-му потребителю (акции), при этом θ_ij ≥ 0.

Доля фирмы j полностью распределена между потребителями:

Если θ_ij = 1, то i-й потребитель является 100 %-ным собственником. Если θ_ij = 0, то i-й потребитель не участвует в собственности фирмы.

• В модели полагается полнота рынков. Значит, на все продукты есть цены. Вектор цен на товары имеет вид:

p = (p⁽¹⁾, p⁽²⁾, …, p^(l)).

В вектор входят как цены на ресурсы, так и цены на конечные продукты.

Состояние экономики обозначим z. Вектор состоит из произведенных благ, затраченных ресурсов и потребленных благ:

z = (х₁, х₂ , …, х_n, y₁, y₂, …, y_m).

Физическое состояние экономики z = (х₁, х₂ , …, х_n, y₁, y₂, …, y_m) называется сбалансированным (допустимым), если выполняются условия:

1)

2) x_i ≥ 0, y_j ∈ Y_i для ∀ j = 1, ..., m.

1) Объём потребления должен быть равен тому, что произвели сейчас и ранее;

2) домашнее хозяйство выбрало определённое количество товаров для потребления. Все производства лежат в производственных множествах, т. е. производители выбирают доступную им технологию и комбинацию ресурсов.

Таких сбалансированных состояний может быть множество, все множество сбалансированных состояний обозначим Z.

Из всех состояний Z найдем рыночное равновесие:

Z̄ = (х̄₁, х̄₂ , …, х̄_n, ȳ₁, ȳ₂, …, ȳ_m, p̄) – рыночное равновесие, если выполняются условия:

1) Z̄ ∈z;

2)

3) ȳ_jp̄ = max y_ip̄, при этом y_j ∈ Y_i.

Комментарий:

1) рыночное равновесие является сбалансированным состоянием;

2) каждый потребитель выбирает такой набор благ x, который обеспечивает ему максимальный уровень полезности при имеющемся бюджетном ограничении;

3) каждая фирма j максимизирует свою прибыль.

Далее в модели общего экономического равновесия Эрроу – Дебре делается упрощение, а именно, расширяется пространство продуктов R^l+m, и вектор первоначального запаса принимает вид:

W_i = (w_i⁽¹⁾, …, w_i^(l), e_i⁽¹⁾, …, e_i^(m)),

где e_i = (θ_i1, θ_i2, ..., θ_im) – доли акций i-го потребителя в каждом из m предприятий.

Теперь возьмем множество U, такое, что

U = {u ∈ Rⁿ|u = (u_i (x_i))ⁿ_{i = 1}},

где x_i – часть допустимых состояний z ∈ Z.

В итоге множество Z отображается в множестве U.

Графическая интерпретация записи U = {u ∈ Rⁿ|u = (u_i (x_i))ⁿ_{i = 1}} для случая n = 2 (в экономике две группы потребителей) выглядит следующим образом (рис. 1.5):

Рис. 1.5. Множество полезностей

Теперь можно поставить задачу выбора из всех состояний, оптимального для экономики.

Критерий оптимальности по Парето: среди всех сбалансированных состояний ž оптимальное, если не существует другого сбалансированного состояния z′, такого, чтобы U_i(z′) > U_i(ž), ∀i, а для одного из участников равен U_i(ž).

На рис. 1.6 проиллюстрирован критерий оптимальности.

Рис. 1.6. Оптимальное состояние в экономике

Таким образом, модель общего экономического равновесия Эрроу – Дебре позволяет представить аналитический анализ общего равновесия, а также построить позитивные и нормативные выводы в отношении множества доступных состояний для экономики и выбора оптимальных (предпочтительных). Данная модель дает возможность расширения числа агентов – государства, производящего новый вид благ – общественные блага.

Рекомендованная литература

1. Аткинсон А. Лекции по экономической теории государственного сектора / А. Аткинсон, Дж. Стиглиц ; пер. с англ. – М.: ГУ ВШЭ, 1996.

2. Нуреев Р.М. Теория общественного выбора. Курс лекций [Электронный ресурс]: - М. ГУ ВШЭ, 2005. – 530 с. – Режим доступа:

http://www.ecsocman.edu.ru/db/msg/204390.html, свободный.

3. Стиглиц Дж. Э. Экономика государственного сектора / Дж. Э. Стиглиц. М.: МГУ, 1997. Тарасевич Л. С. Макроэкономика / Л. С. Тарасевич, П. И. Гребенников, А. И. Леусский. М. : Высшее образование, 2006. 654 с. [Электронный ресурс]. URL: http://www.alleng.ru/d/econ/econ003.htm (дата обращения: 10.06.2015).

4. Шкребела Е.В. Экономика общественного сектора: Методические указания [Электронный ресурс]: - М.: МФТИ, 2002. - 112 с. - Режим доступа:

http://window.edu.ru/window_catalog/files/r39072/mipt019.pdf, свободный.

5. Якобсон Л. И. Экономика общественного сектора. Основы теории государственных финансов / Л. И. Якобсон. М. : Наука, 1995.

[1] «Государство — ночной сторож» — высказывание немецкого социалиста Фердинанда Лассаля (1825–1864). Понимается, что в соответствии с доктриной классического либерализма государство должно осуществлять только охранительные функции, отказываясь от социальных.

[2] Musgrave R. et al. Classics in the theory of public finance. London : Macmillan, 1958.

[3] См., напр.: Государственная программа Российской Федерации «Развитие физической культуры и спорта» и другие концепции и стратегии (официальный сайт Министерства спорта РФ) : [сайт]. URL: http://www.minsport.gov.ru/activities/ federal-programs/ (дата обращения: 10.09.2015). Контрпример: Закон РФ от 23.02.2013 г. № 15-ФЗ «Об охране здоровья населения от воздействия окружающего табачного дыма и последствий потребления табака».

[4] См.: Якобсон Л. И. Государственный сектор рыночной экономики. М., 2000.  С. 28.

[5] Построено на основе данных: Всемирный банк : [сайт]. URL: http://data.worldbank.org/indicator/GC.XPN.TOTL.GD.ZS/countries/1W-OE-7E-XQ?display=graph (дата обращения: 20.09.2015).

[6] См.: Lindahl E. Die Gerechtigkeit der Besteuerung. Stockholm, 1919. При голосовании учитывается собственный вклад каждого избирателя в общее финансирование общественных благ. Это означает, что решение об объеме налогов и расходов на общественные блага принимается на основе сопоставления средних долей в расходах на общественные блага, а не предельных полезностей финансирования дополнительных расходов за счет увеличения налогов, что в общем случае может давать различные результаты.

[7] Цит. по: Джонсон П. Современность: мир с 20-х по 90-е годы. Т. 1, гл. 5 [Электронный ресурс]. URL: http://www.geotar.com/israpart/Jonson/indexpol.html (дата обращения: 14.05.2015).

[8] Платон. Государство. Законы. Политик. М. : Мысль, 1998. С. 18–22.

[9] Смит А. Исследование о природе и причинах богатства народов. Кн. 5, гл. 1, отд. 1 [Электронный ресурс]. URL: http://inliberty.ru/library/classic/432/?classic_ start=5 (дата обращения: 14.05.2015)

[10] Всемирный банк : [портал]. URL: http://www.info.worldbank.org; Фонд за мир : [портал]. URL: http://www.fundforpeace.org (дата обращения: 20.05.2015).

[11] См., напр.: Пиндайк Р., Рубинфельд Д. Микроэкономика. М. : Дело, 2000. Гл. 16.

[12] Arrow K., Debrew G. Existence of an equilibrium for a competitive economy // Econometrica. 1954. № 22. Р. 265–290.