Метод частных значений.

Составленную формально сумму простейших дробей привести к общему знаменателю и сложить дроби. Записать равенство числителей исходной и вновь полученной дробей. В этом равенстве переменной придать числовые значения и записать систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения. Значений переменной нужно взять столько, сколько неизвестных коэффициентов в разложении дроби.В частности удобно придавать переменной х значения корней знаменатель исходной дроби.. Из полученной системы равенств найти неизвестные коэффициенты разложения и подставить их в разложение дроби.

Эти методы можно применять и в комбинации.

Пример 1:Разложить дробь в сумму простейших.

Запишем сначала формальное разложение

.

Теперь полученную сумму дробей приведем к общему знаменателю

Приравняем числители полученной и исходной дробей:

3 + x = Ax² + A+Bx² + Cx – Bx – C, или (A+B)x² + (C-B)x + A – C =3 + x.

Два многочлена равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной:

Следовательно, .

Пример 2: Разложить дробь в сумму простейших.

Действуем аналогично примеру 1:

=

=

Придадим переменной х значения и сравним левую и правую части этого равенства:

Получили систему

Решив эту систему, находим

Тогда искомое разложение имеет вид

.