Действия с комплексными числами

Пусть мы имеем два комплексных числа, записанных в показательной и алгебраической формах записи:

и .

Рассмотрим основные действия, выполняемые над комплексными числами.

Алгебраическое сложение комплексных чисел выполняется при записи их в алгебраической форме, при этом суммируются отдельно действительные части комплексных величин, отдельно - мнимые:

Умножение комплексных чисел удобнее всего выполнять в показательной форме записи, при этом модуль нового комплексного числа получается путем перемножения модулей комплексных величин, а аргумент – путем сложения фаз:

Перемножение комплексных чисел также можно выполнять и при их записи в алгебраической форме. При этом необходимо помнить, что мнимое число j = , а :

Деление комплексных величин удобно выполнять в показательной форме записи. Для получения модуля новой комплексной величины модуль числителя необходимо разделить на модуль знаменателя, а для получения аргумента необходимо из фазы числителя вычесть фазу знаменателя:

Также деление можно выполнять и при записи в алгебраической форме. При этом необходимо избавиться от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель дроби на число комплексно сопряженное

Возведение в степень n выполняется в показательной форме, для этого модуль комплексного числа возводят в соответствующую степень, а показатель просто умножают на n:

.

Извлечение корня n-ой степени равносильно возведению в степень 1/n:

.