Тема 6. Нелинейные модели регрессии и их линеаризация

Многие экономические зависимости не являются линейными по своей сути, и поэтому их моделирование линейными уравнениями регрессии, безусловно, не даст положительного результата. Это означает, что нужно оценить уравнение нелинейной регрессии. Для такой оценки существуют различные пути, одним из которых является линеаризация нелинейной модели. Рассмотрим этот процесс на примере производственной функции.

Производственная функция (ПФ) – это функция, независимая переменная которой принимает значения объемов затрачиваемого или используемого ресурса (фактора производства), а зависимая переменная – значения объемов выпускаемой продукции: y=f(x).

Производственная функция нескольких переменных – это функция, независимые переменные которой принимают значения объемов затрачиваемых или используемых ресурсов (число переменных п равно числу ресурсов), а значение функции имеет смысл величин объемов выпуска: .

В данной формуле y (y≥0) – скалярная величина; - координаты вектора х. Таким образом является числовой функцией нескольких или многих переменных . В связи с этим ее называют многоресурсной или многофакторной ПФ. Точнее ее вид , где а – вектор параметров ПФ.

При построении ПФ для региона или страны в целом в качестве величины годового выпуска Y чаще берут совокупный продукт (доход) региона или страны, исчисляемый обычно в неизменных, а не в текущих ценах, а в качестве ресурсов рассматривают основной капитал ( - объем используемого в течение года основного капитала), живой труд ( - количество единиц затрачиваемого в течение года живого труда), исчисляемые обычно в стоимостном выражении. Таким образом строят двухфакторную ПФ или . От нее переходят к трехфакторной (вводят объемы используемых природных ресурсов). Если ПФ строится по данным временных рядов, то в качестве особого фактора роста производства может быть включен технический прогресс.

Для моделирования отдельного региона или страны в целом часто используется ПФ вида , которая называется ПФ Кобба-Дугласа (ПФКБ). Она принадлежит к классу мультипликативных ПФ.

В ПФКБ α и β эластичности выпуска по затратам капитала и труда соответственно. Сумма этих коэффициентов является таким важным экономическим показателем, как отдача от масштаба. При α + β =1 говорят о постоянной отдаче от масштаба (во сколько раз увеличиваются затраты ресурсов, во столько же раз увеличивается выпуск). При α + β <1 имеет место убывающая отдача от масштаба (увеличение объема выпуска меньше увеличения затрат ресурсов). При α + β >1 – возрастающая отдача от масштаба (увеличение объема выпуска больше увеличения затрат ресурсов).

ПФ называется статической, если ее параметры и ее характеристика f не зависят от времени t.

ПФ называется динамической, если:

1) время t фигурирует в качестве самостоятельной переменной величины (фактора производства), влияющей на объем выпускаемой продукции;

2) параметры ПФ и ее характеристика f зависят от времени t.

При построении ПФ научно-технический прогресс (НТП) может быть учтен с помощью множителя НТП, , где параметр (число) р (р>0) характеризует темп прироста выпуска под влиянием НТП:

(t=0,1,…,Т)

Оценка параметров ПФ обычно проводится с помощью метода наименьших квадратов.

ПФ должна удовлетворять ряду свойств:

1) . Это означает, что без ресурсов нет выпуска.

Если , то при отсутствии хотя бы одного из ресурсов нет выпуска.

2) .

Это означает, что с ростом затрат хотя бы одного ресурса объем выпуска растет.

Если (i=1,2), , то с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса объем выпуска растет. Упорядоченная пара чисел и для краткости обозначается символом х, то есть .

3) Если (i=1,2), .

Это означает, что с ростом затрат одного (i-го) ресурса при неизменном количестве другого ресурса величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу i-го ресурса не растет (закон убывающей эффективности).

Если , , то при росте одного ресурса предельная эффективность другого ресурса возрастает. Если выполнены оба условия 3), то график ПФ есть выпуклая вверх горка в положительной ортанте .

4) . Это означает, что ПФ является однородной функцией степени р>0. При р>1 с ростом масштаба производства в t раз (число t>1), то есть с переходом от вектора х к вектору tx, объем выпуска возрастает в (>t) раз, то есть имеем рост эффективности производства от роста масштаба производства. При р<1 имеем падение эффективности производства от роста масштаба производства. При р=1 имеем постоянную эффективность производства при росте его масштаба (или имеем независимость удельного выпуска от масштаба производства).

Для ПФКБ (α + β =1) свойства 1 – 4 выполняются.

Линейная ПФ (ЛПФ) имеет вид: (двухфакторная) и (многофакторная). ЛПФ принадлежит к классу аддитивных ПФ (АПФ). Переход от мультипликативной (МПФ) к аддитивной осуществляется с помощью операции логарифмирования. Для двухфакторной МПФ этот переход имеет вид:

.

Полагая ; ; , получаем аддитивную ПФ

.

Для ЛПФ ( ) свойства 1 и 4 не выполняются.

CES-функция

Обобщение ПФКБ может вестись в различных направлениях. Наиболее известным обобщением является функция CES, или ПЭЗ, - функция с постоянной эластичностью замещения. Эластичность замещения σ – это мера «кривизны» изоквант (линий уровня) ПФ.

«Кривизну» измеряет величина . Эластичность замещения труда капиталом показывает, на сколько процентов изменится капиталовооруженность при изменении предельной нормы замены труда капиталом на 1%. Величина показывает относительное изменение тангенса угла наклона линии уровня в расчете на единицу отношения .

Линейная ПФ имеет нулевую «кривизну» и, соответственно, бесконечную эластичность замещения у. Функция Кобба-Дугласа имеет эластичность замещения, равную единице. В реальной экономике степень взаимозаменяемости ресурсов может быть различной, соответственно различной (а не только нулевой, бесконечной или единичной) может быть и эластичность замещения. Это ставит задачу оценки более общих формул ПФ, в частности ПФ с постоянной, но произвольной эластичностью замещения. Такая функция (функция CES) описывается формулой

,

где р≥-1; п>0 - степень однородности; А>0; 0<u<1.

Эластичность замещения для такой функции равна . Если р = -1, то получаем функцию с линейными изоквантами, при р→0 в пределе получаем ПФ Кобба-Дугласа, при р→∞ - ПФ Леонтьева.