Что такое последовательность.

Последовательность – функция натурального аргумента (f(n)) где n N. (f(n))= х₁,х₂,…,х_n,…

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие одно определенное значение х_n, то говорят, что задана последовательность с общим членом х_n, пишут (х_n).

Послед-ть (х_n) наз. возрастающей, если большему номеру соответствует больший член послед-ти, т.е x_n+1>x_n. Пр: (n)=1,2,3,…,n,…; (n²)=1,4,9,…, n²,…

Послед-ть (х_n) наз. убывающей, если большему номеру соответствует меньший член послед-ти, т.е. x_n+1<x_n. Пр: (1/n)=1,1/2,1/3,…,1/n,…

Послед-ть (х_n) наз. стационарной, если все ее члены одинаковые. Пр: (5)=5,5,5,…,5,…

(х_n) наз. колеблющейся, если ее члены колеблются около какого-нибудь числа. пр: 1,-1,2,-2,…,n,-n,…

Числовая послед-ть (х_n) наз. ограниченной, если найдётся такое положительное число с, что для всех n-членов послед-ти выполняется неравенство: /x_n/ c.

Числовая послед-ть (х_n) наз. ограниченной сверху, если найдётся такое число М, что для всех членов послед-ти выполняется неравенство: x_n М.

Пр: (-n)=-1,-2,…,-n,… sup =-1

Числовая послед-ть (х_n) наз. ограниченной снизу, если найдётся такое число m, что для всех членов послед-ти выполняется неравенство: x_n≥m.

Пр: (n)=1,2,3,…,n,… inf =1

Числовая послед-ть (х_n) наз. ограниченной, если сущ-ют m,M, что для всех членов послед-ти : m x_n М.

Пр: (1/n)=1,1/2,…,1/n,… sup =1 inf =0

Число а наз. пределом числовой послед-ти с общим членом х_n, если для любого положительного, наперёд заданного и сколь угодно малого числа , найдется такое натуральное число n₀, что для всех членов послед-ти с номерами n>n₀ выполняется неравенство: , т.е.

Геометрический смысл числовой послед-ти:

Геометрический смысл закл-ся в том, что внутри окрестности (а - ; а + ) находится бесконечное число членов этой последовательности, а за ее пределами – конечное (х₁,х₂,…,х_n)

Если число а явл-ся пределом числовой послед-ти, то говорят, что послед-ть сходится к а, а если предела не существует то посл-ть наз-ся расходящейся.

Пр: Доказать, что

Выберем произвольную и составим модуль разности

Мы нашли n₀= (целое), т.е будет выполняться данное неравенство.

Послед-ть (α_n) наз. бесконечно малой, если . Послед-ть (х_n) наз. бесконечно большой, если .

Т(о единственности предела числ. посл-ти): Если посл-ть (х_n) имеет предел, то он единственный.

Док-во: (от противного) предположим, что посл-ть (х_n) имеет два разных предела и , a≠b, b>a. Т.к. , то по опр. ε>0 n₁, n>n₁: |x_n-a|<ε (1). Т.к. , то для выбр. ε>0 n₂, n>n₂: |x_n-b|<ε (2). Обозначим через n₀=max{ n₁; n₂}, тогда для люб. n>n₀: (1),(2). Составим разность b-a=|b-a|=|b-a+х_n-х_n |=|(х_n–a)-(х_n–b)| ≤| х_n-a|+| х_n-b|<ε+ε=2ε (|x y|≤|x| |y|)

Т.о. b-a<2ε. Т.к.ε-произвольное, пусть = , b-a<2* , b-a не< b-a получили противоречие, оно говорит о том, что наше предположение неверно. Т.о., - единственный

Т: Если и , то

1) ; 2)

3) , если ;

4) , где C=const; 5) .

МЕТОДИКА 1.

Урок алгебры по теме "Арифметическая прогрессия" для 9 класса

Цели

Обучающие: - формировать понятие арифметической прогрессии, ознакомить учащихся с формулой нахождения n-го члена арифметической прогрессии;

- формировать навыки нахождения n-ого члена арифметической прогрессии; сформировать навыки использования формулы n-ого члена арифметической прогрессии при решении задач;

Развивающие: развивать умение делать выводы, обобщать и конкретизировать, логическое мышление, память; развивать навыки самоконтроля, самообразования; развивать умения: работать индивидуально, работать на результат.

Воспитательные: воспитать трудолюбие, усидчивость, самостоятельность, последовательность и аккуратность ведения записей, повысить интерес к изучаемому материалу.

Тип урока: Изложение нового материала

Структура урока:

1. Сообщение темы, цели урока, мотивация учебной деятельности (орг.момент);
2. Подготовительный этап через повторение и актуализацию опорных знаний;
3. Ознакомление с новым материалом;
4. Первичное осмысление;
5. Постановка задания на дом;
6. Итог.

Для создания положительной мотивации можно использовать историческую задачу. Ее не обязательно решать до конца, достаточно только с ее помощью ввести определение последовательности. А на этапе первичного закрепления вернуться к задаче и дорешать ее.

Историческая задача.

Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др. Вот одна из них:

«Сто мер хлеба разделили между 5 людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых получили в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?»

Решение.Обозначим долю первого заx , разница - y. Тогда:

Доля первого - x,

Доля второго - x+y,

Доля третьего - x+2y,

Доля четвертого - x+3y,

Доля пятого - x+4y.

Мы получили последовательность, которая называется арифметической пргрессией.

Рассмотрим определение арифметической прогрессии.

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

То есть, последовательность (a_n) – арифметическая прогрессия, если для любого натурального выполняется условие a_n +1 = a_n+d, где d - некоторое число.

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна, т.е. при любом натуральном верно равенство a _n+1 – a_n= d.

a_n=a₁+(n-1)d.

Получили формулы n-го члена арифметической прогрессии.

Формулу n-го члена арифметической прогрессии a_n=a₁+(n-1)d можно записать иначе:

a_n=dn+(a₁-d).

Отсюда ясно, что любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида a_n=kn+b,