Плоских рычажных механизмов

Скорости и ускорения с помощью планов определяются в следующем порядке.

1. В заданном положении в масштабе строится схема механизма. Производится построение планов скоростей и определение, на основании этих планов, линейных скоростей точек звеньев и угловых скоростей звеньев механизма.

2. Осуществляется построение планов ускорений и определе­ние по этим планам линейных ускорений точек звеньев и угло­вых ускорений звеньев механизма. Полученные величины ли­нейных ускорений центров тяжести звеньев и угловых ускоре­ний звеньев следует выписать в виде таблицы (значения этих величин будут необходимы при силовом исследовании меха­низма).

Рассмотрим применение метода построения планов скоростей и ускорений при кинематическом исследовании на примерах.

Пример 1.На рис. 7 изображена кинематическая схема кривошипно-коромыслового механизма, выполненная в мас­штабе . Механизм состоит из одной группы Ассура второго класса (звенья 2 и 3) и группы начальных звеньев: звено 1 со стойкой 0.

Для кинематического исследования необходимо знать ве­личину угловой скорости начальногозвена и размеры звеньев , , , . Кроме того, должно быть построено поло­жение механизма, соответствующее заданному значению угла j.

Скорость точки А звена 1 определяется по формуле

.

Для определения скорости точки В напишем векторное уравнение:

.

Для решения этого уравнения строится план скоростей (рис. 8, а). От произвольной точки р – полюса плана скоростей откладывается в масштабе плана скоростей вектор скорости . Вектор направлен перпендикулярно звену ОА в сторону, определяемую направ­лением угловой скорости .

Отрезок ра, изображающий на плане скоростей скорость , выбирается произвольно, учитывая возможность расположения планов на чертеже и удобство расчетов. Тогда масштаб плана скоростей будет равен

.

Рис. 7. План положения механизма

Рис. 8. Планы скоростей (а) и ускорений (б)

При определении скоростей и принимается во внимание то, что направления этих скоростей известны. Скорость перпендикулярна стороне АВ звена 2, скорость перпендикулярна зве­ну О₂В. Поэтому из точки а проводится линия, перпендику­лярная стороне АВ звена 2, а из полюса проводится линия, перпендикулярная звену О₂В. На пересечении этих линий получим точку b, следовательно, найдем величины и на­правления векторов и .

Для определения скороститочки С запишем векторные уравнения

,

.

Скорость перпендикулярна стороне АС звена 2, а скорость перпендикулярна стороне ВС звена 2. Для нахождения точки с из точ­ки а плана скоростей проводится линия, перпендикулярная АС, а из точки b линия, перпендикулярная ВС. Соединив точку c с полюсом р, получим величину и направление вектора . Таким образом, каждой точке звена соответствует точка на плане скоростей. Причем фигура acb на плане скоростей подобна фигуре АСВ, изображающей контур звена 2. Это положение носит название прин­ципа подобия.

На основании принципа подобия можно было бы точку с на плане скоростей найти проще, не составляя векторных уравнений, а построив на стороне аb плана скоростей тре­угольник acb, подобный треугольнику АСВ звена 2. Для опре­деления правильного положения точки c необходимо приме­нить способ обхода по контуру в одном направлении (напри­мер, по часовой стрелке). Последовательность расположения букв при обходе по контурам acb и АСВ должна быть одина­ковой.

План скоростей дает возможность определить, пользуясь масштабом , как абсолютные, так и относительные скоро­сти любых точек звеньев механизма:

; .

Абсолютные скорости точек звеньев (например, точек А, В, С (рис. 7) определяются векторами, проведенными из полюса р в соответствующие точки плана скоростей (точки a, b, c, рис. 8, а).

Относительные скорости точек звеньев определяются век­торами на плане скоростей, соединяющими концы векторов абсолютных скоростей соответствующих точек. Например, отрезок аb на плане скоростей определяет вектор скорости точки В относительно А.

Угловая скорость звена 2 определяется из выражения

.

Направление скорости , указанное на рис.7, определяется направлением вращения звена 2 относительно точки А под действием вектора скорости , приложенного в точку В звена 2.

Угловая скорость звена 3 равна

.

Направление вращения звена 3 (рис. 7) под действием вектора скорости приложенного в точке В звена 3, относи­тельно точки О₁ определяет направление угловой скорости .

Нормальное ускорение точки А (оно же полное при = const) равно

и направлено по звену ОА от точки А к точке О.

Выбирая длину отрезка , мм, изображающего ускорение точки А, рис. 8, б, определяем масштаб плана ускорений

.

Для определения ускорения точки В необходимо составить два векторных уравнения:

, (а)

. (б)

Ускорение направлено по звену АВ от точки В к точ­ке А. Величина ускорения определяется из выражения

.

Длина отрезка , мм, изображающего на плане ускорение , равна

.

Тангенциальное ускорение точки В при ее движении относительно точки А направлено пер­пендикулярно звену АВ. Величина ускорения в нашем случае, когда не задано, может быть определена только графически, при построении плана ускорений.

Нормальное ускорение направлено от В к О₁. Величина этого ускорения равна

.

Отрезок, изображающий это ускорение на плане, имеет длину

.

Тангенциальное ускорение точки В при ее движении относительно точкиO₁ перпендикулярно звену O₁В. Величина его определяется графически.

На основании системы векторных уравнений (а), (б) строится план ускоре­ний, рис. 8, б. Складывая векторы в правых частях уравнений, на пересечении линий, по которым направлены и , находим точку b – конец отрезка ( ), изображающего ускорение .

При определении ускорения точки С пользуются прин­ципом подобия, который применим и для ускорений: углы в заштрихованных треугольниках на схеме механизма, рис. 7, и на плане, рис. 8, б равны. Построение на отрезке аb треугольника, подобного треугольнику АСВ, при условии соблюдения пра­вила обхода по контуру, дает возможность определить поло­жение точки c, а следовательно, и ускорение . Оно изо­бражается вектором, проведенным из полюса в точку С (рис. 8, б).

Для определения тангенциальных ускорений и длины соответствующих отрезков плана ускорений (в мм) умножают на масштаб :

, .

Угловое ускорение звена 2 равно

.

Направление (рис. 7) совпадает с направлением условного вращения звена 3 относительно точки O₁ под действием вектора ускорения .

Пример 2. Рассмотрим построение планов скоростей и ускорений кривошипно-ползунного механизма (рис. 9). Дано: , м, м, м, угловая скорость кривошипа AB постоянна и равна рад/с.

Задаем длину отрезка (AB), вычисляем масштаб схемы механизма

м/мм

и по нему находим длины отрезков (BC) и (BD):

мм, мм.

Внимание. При печати размеры рисунков искажаются, поэтому длины отрезков следует определять в соответствии со шкалой, изображенной на рис. 9.

По полученным размерам и заданному углу строим план положения механизма (рис. 9, б).

Рис. 9. Кинематический анализ кривошипно-ползунного механизма

компрес­сора: а) схема, б) план положения, в) план скоростей, г) план ускорений.

Строим план скоростей для группы 2, 3, в соответствии с векторным уравнением

,

где – скорость точки В, которая по модулю равна м/с и направлена перпендикулярно линии АВ в сторону, соответствующую на­правлению угловой скорости звена АВ; –скорость точки С при вращении звена ВС вокруг оси шарнира В, по модулю равная ( – угловая скорость звена ВС, которая пока нам неизвестна) и направленная перпендику­лярно линии ВС.

Построение плана скоростей (рис. 9, в) ведется в определенной последовательности. От полюса р откладываем отрезок (pb), изображающий скорость точки В, перпендикулярно линии АВ и в соответствии с направлением вращения звена АВ; из точки b проводим направление скорости – линию, перпендикуляр­ную ВС. Из полюса р проводим направление скорости до пересечения с линией, проведенной перпендикулярно ВС, получаем точку с – конец вектора скорости точки С. Помещаем в полюс плана точку а и на этом заканчиваем построение плана скоростей для всего механизма. Скорость точки D находим по правилу подобия: конец вектора этой скорости должен лежать на линии (bс) и делить отрезок (bс) в том же отношении, в каком точка D делит отрезок ВС, т. е.

.

Вычисляем масштаб плана скоростей:

.

Скорость точки С равна

м/с.

Угловая скорость звена ВС

рад/с.

Строим план ускорений для группы звеньев 2, 3. Этот план строится по векторному уравнению

,

где – нормальное ускорение (оно же полное) точки В, по модулю

равное ￿ м/с²

и направленное параллельно линии АВ от точки В к точке А; – нормальное ускорение точки С во вращательном движении звена ВС относительно точкиВ,по модулю равное

и направленное параллельно линии ВС от точки С к точке В; - касательное ускорение точки С в том же движении звена ВС, по модулю равное ( – угловое ускорение звена ВС, пока нам не известное) и направленное пер­пендикулярно линии ВС.

Рассмотрим порядок построения плана ускорений (рис. 9, г). От полюса плана откладываем отрезок , изображающий ускорение , парал­лельно линии АВ. Длину выбираем, например, равной АВ = 25 мм. При этом масштаб плана ускорений будет равен

.

От точки b откладываем отрезок , изображающий ускорение . Длина отрезка вычисляется так:

мм.

Из конца отрезка проводим направление отрезка , изображающего ускорение , – линию, перпендику­лярную линии ВС. Из полюса проводим направление ускорения – линию, параллельную Ах. Точка пересечения ее с линией, проведенной перпендикулярно ВС, дает точку с – конец вектора ускорения точки С. Отрезок изображает ускорение точки С; отрезок изображает ускорение .Соеди­няем точки с и b и получаем вектор полного ускорения точки С при вращении звена ВС относительно точки В, т. е. . В точку помещаем точку а. На этом заканчиваем построение плана ускорений механизма.

Конец вектора ускорения точки D найдем по правилу подобия:

.

Соединив точку d с полюсом плана , получаем отрезок ( d), изображающий ускорение точки D.

Величина ускорения точки С найдется так:

м/с².

Величина углового ускорения звена ВС

рад/с².

В соответствии с направлениями относительной скорости и относительного тангенциального ускорения на рис. 9 указаны направления угловой скорости и углового ускорения звена 2.

3. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЗУБЧАТЫХ МЕХАНИЗМОВ

Зубчатые механизмы предназначены для преобразования вращательного движения и передачи его от входного звена к выходному. Преобразование движения сопровождается преобразованием вращающих моментов сил, при­ложенных к звеньям.

Передаточное отношение механизма равно отношению угловой скоростивходного звена к угловой скорости выходного звена :

. (3.1)

Можно также определить передаточное отношение от некоторого звена к любому другому звену механизма:

. (3.2)

Если угловая скорость выходного звена меньше скорости входного звена, механизм называют редуктором, если больше – мультипликатором.