О структуре современных математических теорий

Очень кратко, не претендуя на полноту, опишем лишь основные черты, присущие всем математическим теориям на современном этапе развития.

Фундаментом любой математической теории служат три нераздельные и единосущные дисциплины: логика, теория множеств и арифметика. Невозможно отделить корни ни одной из этих наук от корней двух других, хотя, конечно, в процессе развития их ветви разрослись вширь, а кроны раскинулись далеко и независимо друг от друга.

В самом деле, законы логики используются во всех математических дисциплинах, в доказательствах любых утверждений и формулировках любых математических теорий. Без логики, таким образом, не обойдутся ни теория множеств, ни арифметика. С другой стороны, конструируя язык исчисления высказываний, мы неявно пользовались языком множеств, например, рассматривая бесконечное множество пропозициональных переменных. На самом деле, существование бесконечного множества далеко не очевидно и гарантируется так называемой аксиомой бесконечности теории множеств. Так что логика неявно использует аппарат теории множеств. Точно так же, основа арифметики – аксиоматика Пеано, – как будет показано ниже, явно обращается в аксиоме индукции к понятию множества. Поэтому нет арифметики без теории множеств. Наконец, без арифметики невозможно определить понятие формулы в любой содержательной аксиоматической теории. Например, понятие формулы исчисления высказываний вводилось нами фактически с помощью индукции по длине формулы: вначале были определены некоторые формулы длины 1 – пропозициональные переменные, а затем по заданным формулам А и В строились более сложные формулы большей длины (А Ù В), (А Ú В), (А ® В), (А « B) и формула той же длины . Другой пример использования арифметики – это нумерация объектов математической теории. Так, используя пропозициональные переменные с индексами, неявно допускалось наличие натурального ряда. Таким образом, арифметика пронизывает собой всё здание математики и без неё нельзя построить ни одну математическую теорию.

Каждая математическая дисциплина изучает свои специфические объекты, которые вводятся с помощью определений. Чтобы процесс определения объектов был конечен, необходимо допустить некоторые первичные неопределяемые понятия, которые связаны некими неопределяемыми первичными отношениями. Например, геометрия имеет дело с такими неопределяемыми первопонятиями как “точка”, “прямая”, “плоскость”, связанными первичными отношениями “равенства”, “принадлежности”, “расположения между” и др.; теория множеств не определяет понятия “множества”, “элемента”, отношения “равенства элементов” и “принадлежности элемента множеству”; арифметика оперирует неопределяемым понятием “натурального числа” и отношением “непосредственного следования” чисел. Эти неопределяемые понятия и отношения каждой теории подчиняются специфическим для этой теории аксиомам – утверждениям, принимаемым на веру. При этом разные математические дисциплины, могут иметь дело с одними и теми же объектами, но интересоваться различными свойствами этих объектов, акцентируя внимание на одних аксиомах и не обращая внимания на другие (если они не используются в рассуждениях). Например, при изучении действительных чисел алгебраиста заинтересуют, прежде всего, алгебраические операции и их свойства, а специалиста по анализу – непрерывные структуры на множестве этих чисел. Поэтому для анализа первостепенную роль играет аксиома непрерывности, на которую алгебраисты почти не обращают внимания.

Особо следует подчеркнуть, что аксиомы далеко не очевидны. Часто можно услышать, что “аксиомы – это очевидные утверждения, принимаемые без доказательства”. Ошибкой будет считать аксиомы и “утверждениями, не требующими доказательств”. Это не так ! Например, неевклидовы геометрии, широко используемых ныне в физике и других практических дисциплинах, появились именно благодаря попыткам доказать аксиому параллельности Евклида, которые и привели в конечном итоге к созданию новых геометрий в работах Н. Лобачевского, Я. Бойяи и Б. Римана. Неевклидовы геометрии имеют такое же право на существование, как и знакомая со школьной скамьи геометрия Евклида. Выбор той или иной аксиоматики – сложная проблема, в решении которой первостепенная роль принадлежит внутренней интуитивной уверенности в непротиворечивости принимаемой системы аксиом, т.е. вера в существование математического объекта с постулируемыми свойствами.

Итак, всякая математическая теория изучает свой особый мир со специфическими первообъектами и первоотношениями, подчиняющийся законам, сформулированным в виде аксиом. Следует отметить, что само по себе задание списка первообъектов и аксиом не является гарантией содержательности теории. Так, например, в реферативном журнале “Математика”, в котором аннотировались большинство математических статей, публикующихся в отечественных и зарубежных журналах, часто встречались замечания рецензентов о том, что изучаемый автором статьи класс объектов тривиален и потому не представляет интереса для изучения. Так что за кажущейся многозначительностью и псевдонаучностью часто скрывается пустота.

Как уже отмечалось, из первопонятий можно конструировать более сложные понятия, которые вводятся либо с помощью определений, выделяющих среди уже известных объектов те, которые удовлетворяют некоторым особо интересным свойствам, либо используя универсальные средства, предоставляемые теорией множеств, либо с помощью специфических средств самой теории. Например, имея понятие треугольника в геометрии, можно определить равносторонние треугольники, выделяя их свойством равенства всех сторон, а работая с множествами, можно образовывать новые множества, выделяя подмножества элементов данного множества, используя известные операции над множествами, рассматривая множество подмножеств данного множества, декартово произведение множеств, специфические функции, определённые на множестве, функциональные образы и прообразы множеств и.т.д. Таким образом, математик в процессе работы знакомится со всё новыми и новыми обитателями изучаемого мира, которые становятся доступными благодаря средствам, заложенным в основания теории, а значит, потенциально скрытых в аксиомах. Конечно, как отмечалось выше, можно вводить противоречивые определения и всю жизнь изучать свойства несуществующих объектов. Но эта ситуация не уникальна для математики: с тем же успехом криптозоологи могут тратить жизнь на поиски кентавров, а палеонтологи – на доказательство происхождения человека от обезьяны.

Наконец, цель всякой математической дисциплины состоит в изучении свойств введённых объектов и отношений между ними, которые формулируются в виде теорем на специфическом формальном языке данной дисциплины и доказываются, исходя из аксиом, с использованием логических правил вывода. Может показаться, что цель математики – доказательство как можно большего числа теорем. Однако, как и в каждой науке, важно не количество результатов, но их смысл, определяемый целью исследования. Таким образом, задача исследователя состоит не только и не столько в умении доказывать теоремы, сколько в правильном выборе цели. Не случайно сказано: “Гениальные математики формулируют теоремы, а талантливые их доказывают”. На первое место в исследованиях выступает как раз интуиция, умение отрешиться от сиюминутных “перспективных” и “актуальных” задач и сконцентрироваться на том, к чему зовёт душа, суметь не разменять жажду математических странствий на доходное место обеспеченного чиновника при математическом департаменте.

История науки показывает, что часто наиболее важные открытия, составляющие гордость и славу той или иной науки делались не на проторенных магистральных направлениях, но в стороне от них, вопреки мнению большинства, считавшего эти исследования бесперспективными. Таким образом, целью подлинно научного творчества должно быть стремление к Истине, познание той гармонии, которая правит миром в целом, которая движет его солнце и светила и отражается тысячью граней в каждой мельчайшей капельке, падающей с небес на ладони неравнодушного исследователя, чистого сердцем и одухотворённого стремлением к Совершенству.