Оценка математического ожидания (средней величины).

Пусть распределение значений количественного признака в большой выборке ( ) известно и записано в табличной форме:

Значение,	Частота,
…	…
Итого

Выборочные среднее и дисперсия рассчитываются по формулам:

(4.1)

(4.2)

Величины и являются оценками параметров генеральной совокупности: математического ожидания и дисперсии . Оценка является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Величина является центрированной (математическое ожидание равно нулю) и нормированной (дисперсия равна 1), поэтому для нахождения квантилей распределения можно использовать таблицы функции распределения стандартного нормального распределения.

Истинное значение параметра можно оценить при помощи доверительного интервала, который его включает

, (4.3)

где доверительная вероятность (надежность оценки), а

уровень значимости, то есть вероятность ошибки.

Величина предельной ошибки равна:

· повторная выборка

, (4.4)

· бесповторная выборка

. (4.5)

Если объем генеральной совокупности существенно больше объема выборки, либо неизвестен, то пользуются формулой (4.4).

Средние ошибки выборки находят по формулам

и . (4.6)

Интервал может быть двусторонним, либо односторонним.

Пример 4.1.Произведены измерения признака, распределенного на элементах генеральной совокупности неизвестного объема. Результаты измерений и вычислений приведены в таблице.

№ п/п
	1,98	3,92	19,6
	0,98	0,96	9,6
	0,02	0,0004	0,008
	1,02	1,04	11,44
	2,02	4,08	16,32
Итого			56,968

Точечные оценки находим по формулам (4.1) и (4.2).

; ; .

· правосторонний интервал, .

По таблице нормального распределения (Приложение 1) находим .

По формуле (4.4) найдем .

Следовательно, с вероятностью 0,95 .

· левосторонний интервал, .

Проводим те же вычисления и находим: с вероятностью 0,95 .

· двусторонний интервал, .

Так как интервал двусторонний, квантиль распределения находим для : .

По формуле (4.4) найдем .

Вычисляем левую и правую границы интервала: ; .

Получили: с вероятностью 0,95 .

Если объем выборки небольшой , то методика расчета доверительных интервалов немного изменяется. Для сгруппированных данных выборочное среднее определяем, как и ранее (4.1), а дисперсию по формуле:

. (4.7)

Для не сгруппированных данных используем формулы:

(4.8)

. (4.9)

Величина описывается стандартным распределением Стьюдента с степенями свободы, поэтому для нахождения квантилей распределения используют таблицы распределения (Приложение 2).

Предельная ошибка для повторной выборки будет равна

. (4.10)

Пример 4.2.Произведены измерения признака, распределенного на элементах генеральной совокупности неизвестного объема. Результаты измерений и вычислений приведены в таблице. По формулам (4.1) и (4.7) получаем точечные оценки.

№ п/п
	1,9	3,61	3,61
	0,9	0,81	2,43
	0,1	0,01	0,03
	1,1	1,21	2,42
	2,1	4,41	4,41
Итого			12,9

; ; .

· правосторонний интервал, .

По таблице распределения (Приложение 2) для односторонней критической области и числа

степеней свободы находим .

По формуле (4.10) найдем .

Следовательно, с вероятностью 0,95 .

· левосторонний интервал, .

Находим: с вероятностью 0,95 .

· двусторонний интервал, .

Для двусторонней критической области, квантиль распределения .

По формуле (4.10) найдем .

Вычисляем левую и правую границы интервала: ; .

Получили: с вероятностью 0,95 .

Если задана предельная ошибка и доверительная вероятность, из формул (4.4) и (4.10) можно найти необходимое количество измерений (объем выборки). Например, из (4.4) при заданных находим: