Поверхность цилиндра и конуса

За величину боковой поверхности цилиндра принимают предел, к которому стремится боковая поверхность вписанной в этот цилиндр правильной призмы, когда число сторон правильного многоугольника, вписанного в основание, неограниченно удваивается (и, следовательно, площадь каждой боковой грани неограниченно убывает).

За величину боковой поверхности конуса (полного или усечённого) принимается предел, к которому стремится боковая поверхность вписанной в этот конус правильной пирамиды (полной или усечённой), когда число сторон правильного многоугольника, вписанного в основание, неограниченно удваивается (и, следовательно, площадь каждой боковой грани неограниченно убывает).

Теорема. Боковая поверхность цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.

Доказательство: Впишем в цилиндр какую-нибудь правильную призму.

Обозначим буквами р и Н числа, выражающие длины периметра основания и высоты этой призмы. Тогда боковая поверхность её выразится произведением р•Н. Предположим теперь, что число сторон вписанного в основание многоугольника неограниченно возрастает.

Тогда периметр р будет стремиться к пределу, принимаемому за длину С окружности основания, а высота Н останется без изменения; следовательно, боковая поверхность призмы, равная всегда произведению р•Н, будет стремиться к пределу С•Н. Этот предел и принимается за величину боковой поверхности цилиндра. Обозначив боковую поверхность цилиндра буквой S, можем написать:

S = С• Н■

Следствия.

1) Если R обозначает радиус основания цилиндра, то С = 2πR, поэтому боковая поверхность цилиндра выразится формулой:

S = 2πR• Н

2) Чтобы получить полную поверхность цилиндра, достаточно приложить к боковой поверхности сумму площадей двух оснований; поэтому, обозначай полную поверхность через Т, будем иметь:

Т = 2πRН + πR² + πR² = 2πR(Н + R)

Теорема. Боковая поверхность конуса равна произведению длины окружности основания на половину образующей.

Доказательство: Впишем в конус какую-нибудь правильную пирамиду и обозначим буквами р и l числа, выражающие длины периметра основания и апофемы этой пирамиды.

Тогда боковая поверхность её выразится произведением ¹/₂ р• l .

Предположим теперь, что число сторон вписанного в основание многоугольника неограниченно возрастает. Тогда периметр р будет стремиться к пределу, принимаемому за длину С окружности основания, а апофема l будет иметь пределом образующую конуса (так как из D SAK следует, что SA — SK< AK); значит, если образующую конуса обозначим буквой L, то боковая поверхность вписанной пирамиды, постоянно равная ¹/₂ р• l, будет стремиться к пределу ¹/₂С• L. Этот предел и принимается за величину боковой поверхности конуса. Обозначив боковую поверхность конуса буквой S, можем написать:

S = ¹/₂С• L = С• ¹/₂L

Следствия.

1) Так как С = 2πR, то боковая поверхность конуса выразится формулой:S = ¹/₂• 2πR • L = πRL

2) Полную поверхность конуса получим, если боковую поверхность сложим с площадью основания; поэтому, обозначая полную поверхность через Т, будем иметь:

T = πRL + πR2 = πR(L + R).

Теорема. Боковая поверхность усечённого конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.

Доказательство: Впишем в усечённый конус какую-нибудь правильную усечённую пирамиду и обозначим буквами р, р₁ и l числа, выражающие в одинаковых линейных единицах длины периметров нижнего и верхнего оснований и апофемы этой пирамиды.

Тогда боковая поверхность вписанной пирамиды равна

¹/₂ (р +р₁) • l

При неограниченном возрастании числа боковых граней вписанной пирамиды периметры р и р₁ стремятся к пределам, принимаемым за длины С и С₁ окружностей оснований, а апофема l имеет пределом образующую L усечённого конуса. Следовательно, величина боковой поверхности вписанной пирамиды стремится при этом к пределу, равному (С + С₁) L. Этот предел и принимается за величину боковой поверхности усечённого конуса. Обозначив боковую поверхность усечённого конуса буквой S, будем иметь:S = ¹/₂ (С + С₁) L

Следствия.

1) Если R и R₁ означают радиусы окружностей нижнего и верхнего оснований, то боковая поверхность усечённого конуса будет:S = ¹/₂ (2πR + 2πR₁) L = π (R + R₁) L.

2) Если в трапеции ОО₁А₁А, от вращения которой получается усечённый конус, проведём среднюю линию ВС, то получим:

ВС = ¹/₂(OA + O₁A₁) = ¹/₂ • (R + R₁),

откуда

R + R₁ = 2ВС.

Следовательно,

S = 2πBC• L,

т. е. боковая поверхность усечённого конуса равна произведению длины окружности среднего сечения на образующую.

3) Полная поверхность Т усечённого конуса выразится так:

T = π ( R² + R₁² + RL + R₁L)