Определение определённого интеграла

На каждом из отрезков , , , возьмём по точке, которые обозначим , , , , где , , , .

В каждой из этих точек вычислим значения функции , , , .

Составим сумму:

(1)

Эта сумма называется интегральной суммой для функции на отрезке .

Так как при произвольном , принадлежащем отрезку , будет и все , то . Следовательно,

,

т.е.

. (2)

Сумма зависит от выбора точек внутри отрезков , а также от способа разбиения отрезка на отрезки .

Обозначим через наибольшую из длин отрезков . Если , то .

Если при любых разбиениях отрезка , таких, что и при любом выборе точек сумма стремится к одному и тому же пределу J, то говорят, что функция интегрируема на отрезке , функцию называют подынтегральной функцией, а предел J называют определённым интегралом от функции на отрезке . Его обозначают и пишут:

.

Число a называется нижним пределом интегрирования, а число b – верхним пределом интегрирования. Отрезок называется отрезком интегрирования, переменная x – переменной интегрирования.

Замечание.Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке. Среди разрывных функций есть как интегрируемые, так и неинтегрируемые.