Формула Ньютона-Лейбница

Пусть в определённом интеграле нижний предел зафиксирован, а верхний предел меняется. Тогда будет меняться и значение интеграла, т.е. интеграл есть функция верхнего предела. Обозначим эту функцию через :

.

Теорема 1. Если – непрерывная функция и , то имеет место равенство .

Иными словами, производная от определённого интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела.

Замечание. Из теоремы 1 следует, что всякая непрерывная функция имеет первообразную. Действительно, если функция непрерывна на отрезке , то определённый интеграл существует, т.е. существует функция , но по теореме 1 она является первообразной от .

Теорема 2. Если есть какая-либо первообразная от непрерывной функции , то справедлива формула

.

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

Доказательство: Пусть есть первообразная от . По теореме 1 есть также первообразная от . Следовательно,

(так как любые две первообразные от данной функции отличаются на постоянную ).

Пусть x=a, тогда

,

т.е.

.

Получаем

.

При x=b получим формулу Ньютона-Лейбница:

или

.

Пример: .