Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

Рассмотрим интегралы от некоторых классов тригонометрических функций. Покажем, что интеграл вида

(1)

с помощью подстановки всегда сводится к интегралу от рациональной функции.

;

,

.

Таким образом, , и выразились рационально через t. Подставляя полученные выражения в (1), приходим к интегралу от рациональной функции:

.

Пример:

подстановка:

Рассмотренная подстановка даёт возможность проинтегрировать всякую функцию вида . Поэтому она называется «универсальной тригонометрической подстановкой». Однако на практике она часто приводит к слишком сложным рациональным функциям, поэтому применяются другие тригонометрические подстановки.

1) Если интеграл имеет вид , то используется подстановка , , в результате которой получаем .

2)

подстановка: ,

3)

подстановка: , ,

4) Если подынтегральная функция имеет вид , но и входят в выражение только в чётных степенях, то применяется та же подстановка , тогда

, , .

После подстановки мы получим интеграл от рациональной функции.

Примеры:

1)

(используем подстановку )

2)

Используем подстановку .

Выделяем целую часть дроби , в результате получаем . Тогда

5)

а) m или n – нечётное число, пусть, например, , тогда

(подстановка: )

Таким образом, получен интеграл от рациональной функции.

Пример:

подстановка:

б) , где m и n - числа неотрицательные и чётные, т.е. , , тогда

Пример:

в) Если m и n – чётные и одно из этих значений – отрицательное, используем подстановку (или ), как в случае 4.

Пример:

(подстановка: )

6) , ,

Интегралы берутся при помощи тригонометрических формул:

Пример: