РАЗДЕЛ 4. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Тема 13. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА

Нижняя и верхняя интегральные суммы

Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определённый интеграл – одно из основных понятий математического анализа. С его помощью вычисляются площади, длины дуг, объёмы, работа, скорость и т.д.

Пусть на отрезке задана непрерывная функция . Обозначим через и её наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке.

Разобьём отрезок на частей точками деления

,

причём .

Положим , ,..., .

Обозначим наибольшее и наименьшее значения функции :

на отрезке через и ;

на отрезке через и ;

на отрезке через и ;

на отрезке через и .

Составим суммы:

, (1)

. (2)

Сумма называется нижней интегральной суммой, а сумма называется верхней интегральной суммой.

Если , то нижняя интегральная сумма численно равняется площади «вписанной ступенчатой фигуры», а верхняя интегральная сумма численно равняется площади «описанной ступенчатой фигуры».