Площадь фигуры, заданной в декартовой системе координат.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой , двумя прямыми x=a, x=b и отрезком [a;b] оси OX вычисляется по формуле: .

Пример: Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой и осью OX.

Решение. Находим точки пересечения параболы с осью OX: . Тогда искомая площадь равна: .

Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми , , и двумя прямыми x=a, x=b, находится по формуле: .

Пример: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Решение. Находим точки пересечения линий: . Получаем .

Вычисляем площадь:

.

Пусть функция - непрерывна на [a;b] и для всех . Рассмотрим фигуру Ф, симметричную фигуре F относительно оси OX.

, .

Таким образом, .

Если конечное число раз меняет знак на отрезке [a;b], то интеграл по отрезку [a;b] разбиваем на сумму интегралов по частичным отрезкам. Интеграл будет положителен на тех отрезках, где , и отрицателен там, где . Тогда сумма площадей вычисляется по формуле:

.

2. Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрическими уравнениями.

Пусть криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной в параметрической форме где , , .

Данные уравнения определяют некоторую функцию на отрезке [a;b]. Так как , а , получаем: . Таким образом, .

Пример: Вычислите площадь области, ограниченной эллипсом .

Решение.

.