Особенности расчета статически неопределимых стержневых систем

Если внутренние силы определялись только на основе условий равновесия отсеченной части системы (или отдельного бруса), си­стемы называют статически определимыми.

Системы, в которых внутренние силовые факторы (ВСФ), в ча­стности продольные силы, не могут быть определены с помощью только метода сечений, называют статически неопределимыми системами. Соответственно задачи, связанные с расчетом указанных систем, также принято называть статически неопределимыми.

Брус, изображенный на рис. 19.1, жестко заделан обоими концами; в заделках возникают реакции, направленные вдоль оси бруса. Таким обра­зом, на брус действует система сил, на­правленных по одной прямой; статика в этом случае дает одно уравнение равновесия, неизвестных же сил – две.

ля решения статически неопределимой задачи надо составить, помимо уравнений статики так называемые уравнения перемещений,основанные на рассмотрении деформации системы (это геометричес­кая сторона задачи) и применении закона Гука.

Подвешена невесомая весьма жесткая балка, нагруженная силой F. Стержни изготовлены из одинакового материала и имеют одинаковые сечения. Система один раз статически неопределима: для плос­кой системы параллельных сил статика дает два независимых уравнения равнове­сия, а неизвестных сил-три. Обозначим реакции, так же как и силы, действующие на стержни, через N₁, N₂, N₃.

Составляем уравнения равновесия приложенных к балке сил (рис. 19.3):

(19.2)

(19.3)

В результате деформации стержней балка займет положение, показанное на рис. 19.3 штриховыми ли­ниями. Действительно, предположение о высокой жесткости балки позволяет пренебречь ее изгибом, а симметрия самой системы и нагрузки приводит к заключению, что все стержни удлиняются оди­наково. Таким образом, геометрическая сторона задачи может быть выражена уравнением

Выражая удлинения стержней по формуле Гука, получим

откуда

(19.4)

Решая совместно уравнения(19.2) и (19.4),находим силы в стержнях:

Температурные напряжения

19.3. Напряженно-деформированное состояние
при прямом поперечном изгибе.

Изгиб – это такой вид дефор­мации бруса, при котором в его попе­речных сечениях возникают изгибающие моменты. В большинстве случаев одно­временно с изгибающими моментами воз­никают и поперечные силы; такой изгиб называют поперечным; если поперечные силы не возникают, изгиб называют чистым.

Плоскость, проходящую через про­дольную ось бруса (OZ) и одну из главных центральных осей его попереч­ного сечения (OY), называют главной плоскостью бруса.

В случае, если силовая плоскость, т.е. плоскость действия нагрузок, совпадает с одной из главных плоскостей (рис. 19.7), имеет место прямой изгиббруса. В общем случае прямого изгиба в поперечных сечениях бруса возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила и изгибающий момент (рис. 19.8).

Границей между областями растяжения и сжатия является слой волокон, который лишь искривляется, не испытывал при этом ни растяжения, ни сжатия. Это так называемый нейтральный слой. Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения бруса называется нейтральной осью или нулевой линией (см. рис. 19.7).

Брусья, работающие на прямой изгиб, принято называть балками. Схемы основных типов статически определимых балок показаны на рис. 19.9: а – простая консоль; б – двухопорная балка без консолей; в – двухопорная балка с одной консолью; г – двухопорная балка с двумя консолями. Расстояние между опорами балки называют пролетом, а длину балки, защемленной одним концом (рис. 19.9 а), иногда называют вылетом. Консолью называют часть балки, расположенную по одну сторону от опор (рис. 19.9 в, г).

Учитывая, что при прямом поперечном изгибе все внешние си­лы расположены в одной плоскости, при определении ВСФ нет на­добности прибегать к аксонометрическим изображениям.

Брус (балку) изображают одной линией, к которой приложены заданные нагрузки. Эта линия представляет собой продольную ось бруса.

Рассмотрим двухопорную балку. Считаем, что опорные реакции известны.

откуда

;

откуда

.

Поперечная сила в произвольном поперечном сечении бру­са численно равна алгебраической сумме внешних сил, приложенных к его отсеченной части.

Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил,приложенных к отсеченной части, относительно той точки продольной оси бруса, через которую проходит рассматриваемое сечение.

Для определенности при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов установим для них правила знаков.

При построении эпюр удобнее устанавливать знаки и по внешним силам.

Внешняя сила, стремящаяся повернуть отсеченную часть балки по часовой стрелке вокруг той точки оси, которая соответствует проведен­ному сечению, вызывает положительную попереч­ную силу (рис. 19.10 а).

Внешняя сила (момент), изгибающая эту часть выпуклостью вниз, т.е. таким образом, что сжатые волокна находятся сверху, дает положительный изгибающий момент (рис. 19.10 б).